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§01 基础作业
1.1 系统函数与系统框图
1.1.1 根据输入输出求系统函数
对于LTI系统， 如果施加激励信号为： x ( t ) = 3 e − 2 t ⋅ u ( t ) x\left( t \right) = 3e^{ - 2t} \cdot u\left( t \right) x(t)=3e−2t⋅u(t) 系统的零状态输出为： y ( t ) = ( e − t − 2 e − 2 t − 5 e − 3 t ) ⋅ u ( t ) y\left( t \right) = \left( {e^{ - t} - 2e^{ - 2t} - 5e^{ - 3t} } \right) \cdot u\left( t \right) y(t)=(e−t−2e−2t−5e−3t)⋅u(t) 求：
（1） 该系统的系统函数 H ( s ) H\left( s \right) H(s) ；
（2） 系统的单位冲激响应 h ( t ) h\left( t \right) h(t) ；
提示：将输入，输出信号进行拉普拉斯变换， 然后相除得到系统函数； 进行拉普拉斯反变换，获得系统的单位冲激响应。
1.1.2 根据系统框图分析系统
已知离散时间LTI系统框图如下：
▲ 图1.1.1 离散时间系统框图
（1） 求该系统的系统函数 H ( z ) H\left( z \right) H(z) ；
（2） 设系统的输入为 x [ n ] = [ 0. 5 n + 3 − n ] ⋅ u [ n ] x\left[ n \right] = \left[ {0.5^n + 3^{ - n} } \right] \cdot u\left[ n \right] x[n]=[0.5n+3−n]⋅u[n] 根据系统函数求该系统的零状态响应；
（3） 已知 x [ n ] = δ [ n ] , y [ 0 ] = 1 , y [ − 1 ] = − 1 x\left[ n \right] = \delta \left[ n \right],y\left[ 0 \right] = 1,y\left[ { - 1} \right] = - 1 x[n]=δ[n],y[0]=1,y[−1]=−1 求该系统的零输入响应；
提示：
（1） 提示：无；
（2） 将输入信号进行z变换， 乘以系统函数，获得系统的零状态相应的z变换， 然后利用因式分解方法求系统的输出；
（3） 请根据已知条件， 从y[0],y[-1]，求出系统的初始条件y[-3],y[-2],y[-1]等； 然后根据系统函数，写出对应的后向差分方程， 根据z变换求解差方程的过程，求输入信号x[n]=0时， 系统的零输入响应；
1.1.3 根据系统零极点求电路参数
已知电路如下图所示， 其中电阻的阻值为1Ω。
▲ 图1.1.2 电路原理图
该电路的传递函数的零极点分布为：
▲ 图1.1.3 系统的零极点分布
求： L , C L,C L,C 参数。
1.2 系统的稳定性
1.2.1 连续时间系统分析
已知连续时间反馈系统的系统框图如下：
▲ 图1.2.1 连续时间系统的系统框图
（1） 写出该系统的系统函数 H ( s ) = V 2 ( s ) V 1 ( s ) H\left( s \right) = { {V_2 \left( s \right)} \over {V_1 \left( s \right)}} H(s)=V1(s)V2(s)
（2） K K K 满足什么条件时系统稳定？
（3） 在临界稳定条件下， 求系统的冲激响应 h ( t ) h\left( t \right) h(t) 。
1.2.2 离散时间系统分析
- 本题是思考题。
已知离散时间反馈系统的系统框图如下：
▲ 图1.2.3 离散时间系统的系统框图
（1） 求离散时间系统的系统函数 H ( z ) = Y ( z ) / X ( z ) H\left( z \right) = Y\left( z \right)/X\left( z \right) H(z)=Y(z)/X(z) ；
（2） 求系统中参数 K K K 满足什么条件时， 系统是稳定系统？
1.2.3 判断系统的稳定性
已知如下差分方程描述的是因果系统的输入输出之间的关系。 求出系统函数并判断系统的稳定性。
（1） y [ n ] − 1 1 10 y [ n − 1 ] = x [ n ] − 1 1 2 x [ n − 1 ] y\left[ n \right] - 1{1 \over {10}}y\left[ {n - 1} \right] = x\left[ n \right] - 1{1 \over 2}x\left[ {n - 1} \right] y[n]−1101y[n−1]=x[n]−121x[n−1]
（2） y [ n ] = 0.5 x [ n ] − 0.3 x [ n − 2 ] − 2 y [ n − 1 ] − y [ n − 2 ] y\left[ n \right] = 0.5x\left[ n \right] - 0.3x\left[ {n - 2} \right] - 2y\left[ {n - 1} \right] - y\left[ {n - 2} \right] y[n]=0.5x[n]−0.3x[n−2]−2y[n−1]−y[n−2]
1.3 系统的与因果性
下列z变换中， 那些对应的是因果系统的系统函数？
( 1 ) ( 1 − z − 1 ) 2 1 − 1 2 z − 1 ; ( 2 ) ( z − 1 ) 2 z − 1 ; ( 3 ) ( z − 0.3 ) 7 ( z − 0.5 ) 6 \left( 1 \right)\,\,\,\,{ {\left( {1 - z^{ - 1} } \right)^2 } \over {1 - {1 \over 2}z^{ - 1} }};\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\,\,{ {\left( {z - 1} \right)^2 } \over {z - 1}};\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\,\,{ {\left( {z - 0.3} \right)^7 } \over {\left( {z - 0.5} \right)^6 }} (1)1−21z−1(1−z−1)2;(2)z−1(z−1)2;(3)(z−0.5)6(z−0.3)7
1.4 根据条件求系统函数
1.4.1 问题1
一个因果、稳定、LTI系统的单位冲激响应的为 h ( t ) h\left( t \right) h(t)， 对应的系统函数为有理分式 H ( s ) H\left( s \right) H(s) 。 已
知：
（1） 系统输入为 u ( t ) u\left( t \right) u(t) 时， 系统的输出绝对可和。 当输入为 t ⋅ u ( t ) t \cdot u\left( t \right) t⋅u(t) 时， 系统输出不是绝对可和。
（2） d 2 h ( t ) d t 2 + 2 d h ( t ) d t + 2 h ( t ) {
{d^2 h\left( t \right)} \over {dt^2 }} + 2{
{dh\left( t \right)} \over {dt}} + 2h\left( t \right) dt2d2h(t)+2dtdh(t)+2h(t) 为有限长的时间信号；
（3） H ( 1 ) = 0.2 H\left( 1 \right) = 0.2 H(1)=0.2 ， H ( s ) H\left( s \right) H(s) 在无穷远点只有一个零点。
求系统的系统函数 H ( s ) H\left( s \right) H(s) 以及对应的收敛域。
1.4.2 问题2
- 本题为思考题。
因果、稳定、LTI的系统传递函数为 H ( s ) H\left( s \right) H(s) ， 改系统的输入信号为： x ( t ) = δ ( t ) + e s 0 t + x 1 ( t ) x\left( t \right) = \delta \left( t \right) + e^{s_0 t} + x_1 \left( t \right) x(t)=δ(t)+es0t+x1(t) 其中 x 1 ( t ) x_1 \left( t \right) x1(t) 未知， s 0 s_0 s0 为复数常数。
由 x ( t ) x\left( t \right) x(t) 引起的输出相应信号为： y ( t ) = δ ( t ) − 6 e − t u ( t ) − 1 2 e 4 t cos 3 t − 3 2 e 4 t sin 3 t y\left( t \right) = \delta \left( t \right) - 6e^{ - t} u\left( t \right) - {1 \over 2}e^{4t} \cos 3t - {3 \over 2}e^{4t} \sin 3t y(t)=δ(t)−6e−tu(t)−21e4tcos3t−23e4tsin3t 求符合上述条件的传递函数。
§02 实验作业
信号与系统第六章内容给出了基于系统函数 对系统的进行分析的方法。 它的前提是我们能够方便获得对象的系统函数。 这次作业给出的两个内容， 让同学们熟悉MATLAB中进行系统辨识的工具， 从而能够对一些实际系统完成系统函数辨识。 如果大家对系统辨识理论感兴趣，也可以根据MATLAB文档给出的文献进行阅读。
2.1 热风机系统辨识
应用MATLAB中的系统辨识工具， 完成下面出风机输入功率与输出热风温度之间的传递函数。
▲ 图2.1.1 热风机的输入输出信号
2.1.1 实验数据
使用MATLAB调入数据命令： load Dryer.mat 调入实验数据。
-
数据说明：
-
数据个数：1000
采样时间间隔：0.08s
输入变量：xd-输入功率
输出变量：yd-输出温度
▲ 图2.1.2 实验数据：输入与输出信号波形
2.1.2 处理结果说明
下面是对实验数据辨识出热风机的 一个传递函数： H ( s ) = − 1.368 s + 14.68 s 2 + 6.825 s + 15.02 H\left( s \right) = { { - 1.368s + 14.68} \over {s^2 + 6.825s + 15.02}} H(s)=s2+6.825s+15.02−1.368s+14.68 改系统对应的单位阶跃响应以及零极点分布：
▲ 图2.1.3 系统的单位阶跃响应以及零极点分布
利用上面辨识的系统函数， 将上面实际输入信号进行仿真，得到输出仿真信号。 下图给出了系统在实际激励信号下的输出与实际输出信号的对比。
▲ 图2.1.4 模型输出与实际测量信号对比
2.2 仿真系统辨识
对给定的系统函数， 首先产生对应的单位阶跃响应。 在利用MATLAB中的系统辨识工具完成对系统函数的辨识。
2.2.1 系统函数
下面是给定的系统函数： H ( s ) = 1 ( s + 1 ) ( s 2 + s + 1 ) H\left( s \right) = {1 \over {\left( {s + 1} \right)\left( {s^2 + s + 1} \right)}} H(s)=(s+1)(s2+s+1)1 请产生该系统的单位阶跃响应。
下面是MATLAB产生单位阶跃响应代码。
>>s=tf('s');'
>>G=1/((s+1)*(s^2+s+1));
>>[x,t]=step(G,15);
▲ 图2.2.1 系统单位阶跃响应仿真数据
2.2.2 系统辨识工具
下面是MATLAB中的系统标识工具：
▲ 图2.2.2 MATLAB系统辨识工具
下面是一次系统辨识的结果：
▲ 图2.2.3 MATLAB根据单位阶跃响应系统辨识结果
H ( s ) = 6.457 ⋅ 1 0 − 11 + 1.001 s 3 + 2.001 s 2 + 2.001 s + 1.001 H\left( s \right) = { {6.457 \cdot 10^{ - 11} + 1.001} \over {s^3 + 2.001s^2 + 2.001s + 1.001}} H(s)=s3+2.001s2+2.001s+1.0016.457⋅10−11+1.001
■ 相关文献链接:
● 相关图表链接: