信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第十四次作业

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01 基础练习

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一、离散傅里叶变换

1、求正弦序列的离散傅里叶变换

  已知长度为 $N$ 正弦序列序列定义如下：

  求该序列的离散傅里叶变换（DFT）。要求将结果花溅到没有累加和的实数表达式。

注： 本题为 信号与系统2022年期末考试试题

半波离散序列的离散傅里叶变换

2、频谱分析应用

  利用 DFT 来计算信号的频谱。 要求频谱分析的指标为：

  （1） 信号频谱中的最高频率 $f_{MAX}\ge 15kHz$ ；
  （2） 离散频谱中频率间隔 $f_1\le 20Hz$ ；
  （3） 为了适应FFT算法， 采样数据点数 N 需要为 2 的整数次幂；

  根据以上数据频谱分析指标要求， 试确定：
  （1） 数据采样时间间隔 $T_s$ ；
  （2） 采样数据点数 $N$ ；

利用离散傅里叶变换分析信号频谱

3、DFT反变换

  已知有限长序列 $x\left[n\right]$ 的 DTFT 为 $X\left(e^{j\omega }\right)$ ， 对 $X\left(e^{j\omega }\right)$ 在一个周期内 $\left[0,2\pi \right]$ 进行 $N=5$ 点的均匀采样， 得到离散频率 $X\left[k\right]$ ， 即

  如果 $x\left[n\right]$ 取一下两种情况， 试确定 $X\left[k\right]$ 进行 DFT反变换之后对应的序列 $y\left[n\right]$ 。

  （1） x [ n ] = { 1 , 2 , 3 , 4 } x\left[ n \right] = \left\{ {1,2,3,4} \right\} x[n]={ 1,2,3,4} ;
  （2） x [ n ] = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } x\left[ n \right] = \left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\} x[n]={ 1,2,3,4,5,6,7} ；

提示： 根据 $X\left[k\right]$ 是对 $x\left[n\right]$ 进行 $N=5$ 点的DFT， 所以它对应的反变换 y [ n ] = D F T − 1 { X [ k ] } y\left[ n \right] = DFT^{ - 1} \left\{ {X\left[ k \right]} \right\} y[n]=DFT−1{ X[k]} 是对 $x\left[n\right]$ 进行 $N=5$ 的周期延拓后， 在取主值区间，即： $y\left[n\right]=x{\left[\left[k\right]\right]}_{N=5}\cdot R_{N-5}\left[n\right]$ 。

序列的周期延拓

4、频谱分析计算量

（1）必做题

  已知序列 $x\left[n\right]$ 的数据长度为 310； $h\left[n\right]$ 的数据长度 为 24。

  （1） 直接使用（线）卷积计算 $x\left[n\right]\ast h\left[n\right]$ ， 给出所需要的实数乘法和实数加法次数；
  （2） 利用基-2的快速傅里叶变换， 完成 $x\left[n\right],h\left[n\right]$ 之间的线卷积， 所需要的实数乘法与实数加法次数；
  （3） 比较以上结果， 并得出你的结论。

（2）选做题

  如果序列 $x\left[n\right]$ 的长度为 8192. 已知一款单片机每次完成实数乘法和加罚所需要的时间分别为 4.5 $\mu s$ 和 $0.5\mu s$。 如果计算出该序列的DFT， 请估计使用 DFT 公式直接计算，以及使用 FFT 计算所需要的时间。

仅仅根据计算所需要的实数乘法和加法次数来估计时间。 忽略算法其他部分的操作时间。

离散傅里叶变换计算复杂度

二、滤波器设计

1、匹配滤波器

  如果使用匹配滤波器 来检测接收信号与发送信号之间的延迟， 那么下面四个信号中哪一个最适合作为发送信号？ 请给出理由。

▲ 图2.2.1 四种发送信号的波形

匹配滤波器的信号

2、物理可实现性

• 选做题： （1），（2）

  设滤波器的频率特性对应的幅度平方函数表达式为：

  （1）

  （2）

  请问， 上述滤波器是否可物理可实现？

提示： 请参考佩里（Paley）-维纳（Wiener） 准则中的两个条件。

系统物理可实现性

3、滤波器结构图

• 必做题： （2），（4）
• 选做题： （1），（3），（5）

  根据以下数字滤波器系统函数， 绘制出滤波器的滤波器结构图。

滤波器系统框图

4、滤波器转换

• 必做题： （1）
• 选做题： （2）

  已知模拟滤波器的传递函数为：

  设采样周期 $T=0.5s$ ， 用以下方法将其转换为数字滤波器：

  （1） 脉冲响应不变方法；
  （2） 双线性变换法；

系统离散化

双线性变换对系统进行离散化

02 实验作业

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一、设计FIR滤波器

  使用窗函数法设计一个线性相位 FIR 低通滤波器， 要求的技术指标为：
  （1） 通带内在 ${\Omega }_p=30\pi rad/s$ 处衰减 ${\delta }_p\ge -3dB$ ；
  （2） 阻带内在 ${\Omega }_s=46\pi rad/s$ 处商检 ${\delta }_s\le -40dB$ ；
  （3） 采样周期 $T=0.01s$ 。

二、匹配滤波器

1、声音信标

  在全国大学生智能车竞赛竞赛中， 声音信标发送出频率线性变化的 Chirp 声音信号， 接受信号通过对比调频无线接收机得到的声音信号与麦克风测量的声音信号，获得信标相对于麦克风的声音延迟，进而可以获得信标的方位。

  下图是在 室外声音信标可行性分析中给出的发送Chirp信号与麦克风接收到的信号。

▲ 图2.2.1 . 发送的Chirp信号与接收到的Chirp信号

2、实验要求

  在 Chirp信号公式与对离散生成算法之间的差异 给出了生成 Chirp 信号生成的方法，请按照如下指标生成 Chirp 信号数据：

• 采样频率： $f_s=10kHz$ ；
• 起始频率： $f_{start}=250Hz$ ；
• 停止视频： $f_{stop}=2000Hz$ ；
• 采集数据长度： $N=2048$ ；

  对数据添加 $\left[-1,1\right]$ 之间的均匀分布的随机噪声， 形成两个带有噪声的 Chirp 信号。 计算它们之间的互相关信号。

▲ 图2.2.2 . Chirp 信号与对应的两个增加有随机信号Chirp信号

  下面是两个带有很大噪声的 Chirp 信号之间互相关的结果。

▲ 图2.2.3 .两个叠加有随机噪声的Chirp信号互相关结果 上：全部的互相关结果；下：将互相关结果中心展开

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■ 相关文献链接:

• 信号与系统2022春季作业-第14次作业
• 2021年春季学期-信号与系统-第十五次作业参考答案
• 信号与系统分析2022春季作业-参考答案：第十四次作业
• 404
• 室外声音信标可行性分析
• Chirp信号公式与对离散生成算法之间的差异

● 相关图表链接:

• 图2.2.1 四种发送信号的波形
• 图2.2.1 . 发送的Chirp信号与接收到的Chirp信号
• 图2.2.2 . Chirp 信号与对应的两个增加有随机信号Chirp信号