【力扣】509-斐波那契数-多种优化解法

问题

  力扣题目链接：斐波那契数

解题思路1-递归求解

  时间复杂度为O(2^n)，不能AC

int fib(int N) {
    
    
    if (N == 1 || N == 2) return 1;
    return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}

解题思路2-使用带备忘录的递归解法

  我们可以造一个「备忘录」，每次算出某个子问题的答案后别急着返回，先记到「备忘录」里再返回；每次遇到一个子问题先去「备忘录」里查一查，如果发现之前已经解决过这个问题了，直接把答案拿出来用，不要再耗时去计算了。
  本算法的时间复杂度是 O(n)

int fib(int N) {
    
    
    // 备忘录全初始化为 0
    int[] memo = new int[N + 1];
    // 进行带备忘录的递归
    return helper(memo, N);
}

int helper(int[] memo, int n) {
    
    
    // base case
    if (n == 0 || n == 1) return n;
    // 已经计算过，不用再计算了
    if (memo[n] != 0) return memo[n];
    memo[n] = helper(memo, n - 1) + helper(memo, n - 2);
    return memo[n];
}

解题思路3-迭代（递推）解法

  有了上一步「备忘录」的启发，我们可以把这个「备忘录」独立出来成为一张表，通常叫做 DP table，在这张表上完成「自底向上」的推算。

int fib(int N) {
    
    
    if (N == 0) return 0;
    int[] dp = new int[N + 1];
    // base case
    dp[0] = 0; dp[1] = 1;
    // 状态转移
    for (int i = 2; i <= N; i++) {
    
    
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }

    return dp[N];
}

解题思路4-优化空间复杂度为O(1)

  根据斐波那契数列的状态转移方程，当前状态只和之前的两个状态有关，其实并不需要那么长的一个 DP table 来存储所有的状态，只要想办法存储之前的两个状态就行了。

int fib(int n) {
    
    
    if (n == 0 || n == 1) {
    
    
        // base case
        return n;
    }
    // 分别代表 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]
    int dp_i_1 = 1, dp_i_2 = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
    
    
        // dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        int dp_i = dp_i_1 + dp_i_2;
        // 滚动更新
        dp_i_2 = dp_i_1;
        dp_i_1 = dp_i;
    }
    return dp_i_1;
}