Leetcode 509：斐波那契数

题目描述：

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给你 n ，请计算 F(n) 。

解法一：递归

思路：

斐波那契数列的数学形式就是递归，当前项的和等于前两项的数字之和。

代码如下：

class Solution {
    public int fib(int n) {
        // 特殊情况
        if (n == 0 || n == 1) {
            return n;
        }
        // 递推关系
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }
}

不足：存在大量的重复计算，如下图：

 

解法二：带有备忘录的递归算法

思路：

既然递归存在大量重复计算，那就通过记忆的方式解决重复的问题。初始化一个数组值全部为0，判断当前位置的值是否为0，如果为0，则进行递归计算；如果不为0，则不用计算。

代码如下：

class Solution {
    public int fib(int n) {
        //备忘录数组
        int[] nums = new int[n+1];
        return memoryFib(nums, n);
    }
    public int memoryFib(int[] nums, int n){
        //递归退出的条件
        if(n == 0 || n == 1){
            return n;
        }
        //如果nums[n]的值为0，则递归；如果不为0，则值为原值
        return nums[n] == 0 ? memoryFib(nums, n-1) + memoryFib(nums, n-2) : nums[n];
    }
}

解法三：动态规划

思路：

如下图：

斐波那契额数列的数学形式如下：

状态转移方程： dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 

代码如下：

class Solution {
    public int fib(int n) {
        //处理n为0的情况
        if(n == 0){
            return 0;
        }
        //初始化dp数组
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for(int i=2; i <= n; i++){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
}

解法四：迭代算法

思路：

动态规划确实效率挺高，但是使用了额外的空间。迭代算法可以在不使用额外空间的前提下，完成斐波那契数列的计算。

代码如下：

class Solution {
    public int fib(int n) {
        //处理特殊情况
        if(n == 0){
            return 0;
        }
        if(n ==1 || n ==2){
            return 1;
        }
        int num1 = 1, num2 = 1;
        for(int i=2; i < n; i++){
            //暂存num2
            int temp = num2;
            num2 = num1 + num2;
            num1 = temp;
        }
        return num2;
    }
}