Pytorch autograd.grad与autograd.backward详解

Pytorch autograd.grad与autograd.backward详解

引言

平时在写 Pytorch 训练脚本时，都是下面这种无脑按步骤走：

outputs = model(inputs)		# 模型前向推理
optimizer.zero_grad()		# 清除累积梯度
loss.backward()				# 模型反向求导
optimizer.step()			# 模型参数更新

对用户屏蔽底层自动微分的细节，使得用户能够根据简单的几个 API 将模型训练起来。这对于初学者当然是极好的，也是 Pytorch 这几年一跃成为最流行的深度学习框架的主要原因：易用性。

但是，我们有时需要深究自动微分的机制，比如元学习方法 MAML （参考 Pytorch 代码）中，需要分别根据支持集和查询集的梯度按照不同的策略更新模型参数。这时还是需要了解一些 Pytorch 框架的自动微分机制。幸运的是，Pytorch 关于这部分的框架设计也很清晰，在参考了几个博客之后，笔者将自己的对 Pytorch 自动微分机制接口总结在这里。

注意只是自动微分机制的 Python 接口，而非底层实现。

背景知识

计算图

当今主流深度学习框架的计算图主要有两种形式：静态图（TensoFlow 1.x、Caffe …）和动态图（Pytorch …）。两者的却别简单说来就是：静态图是在模型确定之后就先生成一张计算图，然后每次对于不同的输入样本，都直接丢到计算图中跑；而动态图则是对于每次样本输入都重新构建一张计算图。从它们的区别也可以感受到它们彼此最重要的优劣势：静态图速度快但是不够灵活，动态图灵活但速度稍慢。

在今天，各个框架中动态图与静态图的区分也没有那么绝对了。比如 TensorFlow 2.0 已经采用动态图，而 Pytorch 也可通过 scripting/tracing 转换成 JIT torchscript 静态图。但这不是本文的重点，对深度学习框架计算图感兴趣可参考：机器学习系统:设计与实现 计算图。

我们要讨论的是 Pytorch 的自动微分机制，Pytorch 中主要是动态图，即计算图的搭建和计算是同时的，对每次输入都是重新建图计算。在 Pytorch 的计算图里有两种元素：数据（tensor）和 运算（operation）。

• 运算：包括了加减乘除、开方、幂指对、三角函数等可微分运算。
• 数据：在 Pytorch 中，数据的形式一般就是张量 torch.Tensor。

tensor

Pytorch 中 tensor 具有如下属性：

• requires_grad：是否需要求导

  • 关于 requires_grad 属性的默认值。自己定义的叶子节点默认为 False，而非叶子节点默认为 True，神经网络中的权重默认为 True。判断哪些节点是True/False 的一个原则就是从你需要求导的叶子节点到 loss 节点之间是一条可求导的通路，这条通路上的节点的 requires_grad 都应当是 True。

• grad_fn：当前节点是经过什么运算（如加减乘除等）得到的

• grad：导数值

• data：tensor 的数据

• is_leaf：是否为叶子节点

  • 其他几个概念都比较好理解，这里解释一下什么是叶子节点。

  • 在 Pytorch 中，如果一个张量的 requires_grad=True，则进一步可分为：叶子节点和非叶子节点。叶子节点是用户创建的节点，不依赖其它节点，非叶子结点则是由叶子结点计算得到的中间张量。

    a = torch.randn(2, 2).requires_grad_()
    b = a * 2
    print(a.is_leaf, b.is_leaf)
    # 输出：True False
    

  • 对于 requires_grad=False 的 tensor 来说，我们约定俗成地把它们归为叶子张量。但其实无论如何划分都没有影响，因为张量的 is_leaf 属性只有在需要求导的时候才有意义。

  • 由于叶子节点是用户创建的，所以它的 grad_fn 为空，而非叶子节点都是经过运算得到的，所以 grad_fn 非空

  • 叶子/非叶子表现出来的区别在于：反向传播结束之后，非叶子节点的梯度会被释放掉，只保留叶子节点的梯度，这样就节省了内存。如果想要保留非叶子节点的梯度，可以使用 retain_grad() 方法。

关于 Pytorch tensor 的更多细节，可参考：浅谈 PyTorch 中的 tensor 及使用 。

一个例子

以下例子来自：PyTorch 的 Autograd。

了解过背景知识之后，现在我们来看一个具体的计算例子，先用最常见的梯度反传方式 loss.backward() ，并画出它的正向和反向计算图。假如我们需要计算这么一个模型：

l1 = input x w1
l2 = l1 + w2
l3 = l1 x w3
l4 = l2 x l3
loss = mean(l4)

这个例子比较简单，涉及的最复杂的操作是求平均，但是如果我们把其中的加法和乘法操作换成卷积，那么其实和神经网络类似。我们可以简单地画一下它的计算图，其中绿色节点表示叶子节点：

图1：正向计算图

下面给出了对应的代码，我们定义了 input，w1，w2，w3 这三个变量，其中 input 不需要求导结果。根据 Pytorch 默认的求导规则，对于 l1 来说，因为有一个输入需要求导（也就是 w1 需要），所以它自己默认也需要求导，即 requires_grad=True（即前面提到的 ”是否在需要求导的通路上“ ，如果对这个规则不熟悉，欢迎参考 浅谈 PyTorch 中的 tensor 及使用 或者直接查看 官方 Tutorial 相关部分）。在整张计算图中，只有 input 一个变量是 requires_grad=False 的。正向传播过程的具体代码如下：

input = torch.ones([2, 2], requires_grad=False)
w1 = torch.tensor(2.0, requires_grad=True)
w2 = torch.tensor(3.0, requires_grad=True)
w3 = torch.tensor(4.0, requires_grad=True)

l1 = input * w1
l2 = l1 + w2
l3 = l1 * w3
l4 = l2 * l3
loss = l4.mean()

print(w1.data, w1.grad, w1.grad_fn)
# tensor(2.) None None

print(l1.data, l1.grad, l1.grad_fn)
# tensor([[2., 2.],
#         [2., 2.]]) None <MulBackward0 object at 0x000001EBE79E6AC8>

print(loss.data, loss.grad, loss.grad_fn)
# tensor(40.) None <MeanBackward0 object at 0x000001EBE79D8208>

正向传播的结果基本符合我们的预期。我们可以看到，变量 l1 的 grad_fn 储存着乘法操作符 <MulBackward0>，用于在反向传播中指导导数的计算。而 w1 是用户自己定义的，不是通过计算得来的，所以其 grad_fn 为空；同时因为还没有进行反向传播，grad 的值也为空。接下来，我们看一下如果要继续进行反向传播，计算图应该是什么样子：

图2：反向计算图

反向图也比较简单，从 loss 这个变量开始，通过链式法则，依次计算出各部分的导数。说到这里，我们不妨先自己手动推导一下求导的结果，再与程序运行结果作对比。如果对这部分不感兴趣的读者，可以直接跳过。

再摆一下公式：

input = [1.0, 1.0, 1.0, 1.0]
w1 = [2.0, 2.0, 2.0, 2.0]
w2 = [3.0, 3.0, 3.0, 3.0]
w3 = [4.0, 4.0, 4.0, 4.0]

l1 = input x w1 = [2.0, 2.0, 2.0, 2.0]
l2 = l1 + w2 = [5.0, 5.0, 5.0, 5.0]
l3 = l1 x w3 = [8.0, 8.0, 8.0, 8.0] 
l4 = l2 x l3 = [40.0, 40.0, 40.0, 40.0] 
loss = mean(l4) = 40.0

首先 $loss=\frac{1}{4}{\sum }_{i=0}^3{l}_4^i$ , 所以 $loss$ 对 $l_4^i$ 的偏导分别为 $\frac{\partial loss}{\partial l_4^i}=\frac{1}{4}$ ;

接着 $\frac{\partial l_4}{\partial l_3}=l_2=[5.0,5.0,5.0,5.0]$ , 同时 $\frac{\partial l_4}{\partial l_2}=l_3=[8.0,8.0,8.0,8.0]$ ;

现在看 $l_3$ 对它的两个变量的偏导：

$\frac{\partial l_3}{\partial l_1}=w3=[4.0,4.0,4.0,4.0]$，$\frac{\partial l_3}{\partial w_3}=l1=[2.0,2.0,2.0,2.0]$

因此 $\frac{\partial loss}{\partial w_3}=\frac{\partial loss}{\partial l_4}\frac{\partial l_4}{\partial l_3}\frac{\partial l_3}{\partial w_3}=[2.5,2.5,2.5,2.5]$ , 其和为 10 ;

同理，再看一下求 $w_2$ 导数的过程： $\frac{\partial loss}{\partial w_2}=\frac{\partial loss}{\partial l_4}\frac{\partial l_4}{\partial l_2}\frac{\partial l_2}{\partial w_3}=[2.0,2.0,2.0,2.0]$ ，其和为 8。

其他的导数计算基本上都类似，因为过程太多，这里就不全写出来了，如果有兴趣的话大家不妨自己继续算一下。

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接下来我们继续运行代码，并检查一下结果和自己算的是否一致：

loss.backward()

print(w1.grad, w2.grad, w3.grad)
# tensor(28.) tensor(8.) tensor(10.)
print(l1.grad, l2.grad, l3.grad, l4.grad, loss.grad)
# None None None None None

首先我们需要注意一下的是，在之前写程序的时候我们给定的 w 们都是一个常数，利用了广播的机制实现和常数和矩阵的加法乘法，比如 w2 + l1，实际上我们的程序会自动把 w2 扩展成 [[3.0, 3.0], [3.0, 3.0]]，和 l1 的形状一样之后，再进行加法计算，计算的导数结果实际上为 [[2.0, 2.0], [2.0, 2.0]]，为了对应常数输入，所以最后 w2 的梯度返回为矩阵之和 8 。

另外还有一个问题，注意到 l1，l2，l3，以及其他的部分的求导结果都为空。这验证了我们之前提到的叶子结点的概念，对于非叶子几点，不会保留其梯度值，如果一定要保留，需要设置 retain_graph=True。

torch.autograd：grad与backward

自动微分机制是深度学习框架的核心，对于 Pytorch 也不例外。 [Pytorch autograd官方文档][https://pytorch.org/docs/stable/autograd.html#]指出，Pytorch 中有两种方式可以实现反向传播求导，分别是 torch.auograd.grad 和 torch.autograd.backward 。

在我们日常搭建训练脚本的过程中，最常见的是 loss.backward() 。其实这是与 torch.autograd.backward(loss) 是等价的，即上述后一种方式。

两种方式的区别是：前者是返回参数的梯度值列表，而后者是直接修改各个 tensor 的 grad 属性。

接口定义

torch.autograd.backward

torch.autograd.backward(
		tensors, 
		grad_tensors=None, 
		retain_graph=None, 
		create_graph=False, 
		grad_variables=None)

• tensor：用于计算梯度的tensor。前面提到过以下两种方式是等价的：torch.autograd.backward(z) == z.backward()
• grad_tensors：在计算矩阵的梯度时会用到。也是一个tensor，shape一般需要和前面的 tensor 保持一致。
• retain_graph：通常在调用一次 grad/backward 后，Pytorch会自动把计算图销毁，所以要想对某个变量重复调用 backward，则需要将该参数设置为 True
• create_graph：当设置为 True 的时候可以用来计算更高阶的梯度
• grad_variables：这个官方说法是 ‘grad_variables’ is deprecated. Use ‘grad_tensors’ instead.也就是说这个参数后面版本中应该会丢弃，直接使用 grad_tensors 就好了。

torch.autograd.grad

torch.autograd.grad(
		outputs, 
		inputs, 
		grad_outputs=None, 
		retain_graph=None, 
		create_graph=False, 
		only_inputs=True, 
		allow_unused=False)

• outputs：结果节点，通常是损失值
• inputs：需要求梯度的叶子节点，通常是模型参数
• grad_outputs：类似于 backward 方法中的 grad_tensors
• retain_graph：同上
• create_graph：同上
• only_inputs：默认为 True。如果为 True, 则只会返回指定 input 的梯度值。 若为 False，则会计算所有叶子节点的梯度，并且将计算得到的梯度累加到各自的grad属性上去。
• allow_unused：默认为 False， 即必须要指定input，如果没有指定的话则报错。

例子

还是通过一个例子来看：

import torch
import torch.nn as nn

class MyModel(nn.Module):
    def __init__(self):
        super().__init__()
        self.conv1 = nn.Conv2d(in_channels=2, out_channels=2, kernel_size=1, padding=0, bias=False)
        self.conv2 = nn.Conv2d(in_channels=2, out_channels=1, kernel_size=1, padding=0, bias=False)

    def forward(self, z):
        return self.conv2(self.conv1(z))

c = 2
h = 5
w = 5
lr = 0.01
inputs = torch.arange(0, c * h * w).float().view(1, c, h, w)
model = MyModel()
outputs = model(inputs)

loss = outputs.sum()

model.zero_grad()
grad = torch.autograd.grad(loss, model.parameters(), retain_graph=True)
# grad = torch.autograd.grad(loss, model.parameters())
# 注意这里需要 retain_grad = True，否则会报错：
# RuntimeError: Trying to backward through the graph a second time (or directly access saved tensors after they have already been freed). Saved intermediate values of the graph are freed when you call .backward() or autograd.grad(). Specify retain_graph=True if you need to backward through the graph a second time or if you need to access saved tensors after calling backward.
loss.backward()

for i, (name, param) in enumerate(model.named_parameters()):
    print("******************")
    print(name)
    print("grad using loss.backward: ", param.grad.data)
    print("grad using autograd.grad: ", grad[i])
    print("******************")

    # 更新参数
    # 相当于 optimizer.step()
    
    # theta_1 = theta_0 - lr * grad
    param.data.sub_(lr * param.grad.data)
    # 或者：
    # param.data.sub_(lr * grad[i])

我们定义了一个简单的两层卷积模型，然后分别用 grad 和 backward 的方式来计算它们的梯度，并打印出来比较一下，发现是完全一致的。

如果想要根据梯度更新参数的话，也可以在拿到梯度之后，直接按照梯度下降的公式手动进行更新：
$${\theta }_1={\theta }_0-\alpha \nabla {\theta }_0$$
这一步就相当于执行了 optimizer.step() ，它会使用封装好的优化器进行更新。

求高阶导

如何求高阶导，比如求二阶导， 无非就是 grad_x 再对 x 求梯度：

x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
y = torch.tensor(3.).requires_grad_()

z = x * x * y

grad_x = torch.autograd.grad(outputs=z, inputs=x, retain_graph=True)
grad_xx = torch.autograd.grad(outputs=grad_x, inputs=x)

print(grad_xx[0])
# 报错：RuntimeError: element 0 of tensors does not require grad and does not have a grad_fn

报错了，虽然 retain_graph=True 保留了计算图和中间变量梯度， 但没有保存 grad_x 的运算方式，需要使用 create_graph=True 在保留原图的基础上再建立额外的求导计算图，也就是会把 $\frac{\partial z}{\partial x}=2xy$ 这样的运算存下来。

一阶二阶导我们可以分别用 autograd.grad 或者 backward 来做，即我们有四种排列组合，都是可以的：

# autograd.grad() + autograd.grad()
x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
y = torch.tensor(3.).requires_grad_()

z = x * x * y

grad_x = torch.autograd.grad(outputs=z, inputs=x, create_graph=True)
grad_xx = torch.autograd.grad(outputs=grad_x, inputs=x)

print(grad_xx[0])
# 输出：tensor(6.)

grad_xx 这里也可以直接用 backward，相当于直接从 $\frac{\partial z}{\partial x}=2xy$ 开始回传

# autograd.grad() + backward()
x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
y = torch.tensor(3.).requires_grad_()

z = x * x * y

grad = torch.autograd.grad(outputs=z, inputs=x, create_graph=True)
grad[0].backward()

print(x.grad)
# 输出：tensor(6.)

也可以先用 backward 然后对 x.grad 这个一阶导继续求导

# backward() + autograd.grad()
x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
y = torch.tensor(3.).requires_grad_()

z = x * x * y

z.backward(create_graph=True)
grad_xx = torch.autograd.grad(outputs=x.grad, inputs=x)

print(grad_xx[0])
# 输出：tensor(6.)

那是不是也可以直接用两次 backward 呢？第二次直接 x.grad 从开始回传，我们试一下

# backward() + backward()
x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
y = torch.tensor(3.).requires_grad_()

z = x * x * y

z.backward(create_graph=True) # x.grad = 12
x.grad.backward()

print(x.grad)
# 输出：tensor(18., grad_fn=<CopyBackwards>)

发现了问题，结果不是 6，而是18，发现第一次回传时输出 x 梯度是12。这是因为 Pytorch 使用 backward 时默认会累加梯度，需要手动把前一次的梯度清零

x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
y = torch.tensor(3.).requires_grad_()

z = x * x * y

z.backward(create_graph=True)
x.grad.data.zero_()
x.grad.backward()

print(x.grad)
# 输出：tensor(6., grad_fn=<CopyBackwards>)

对输出矩阵自动微分

到此为止我们都是对标量进行自动微分，当我们试图对向量或者矩阵进行梯度反传时，会怎么样呢？

import torch
x = torch.tensor([1., 2.]).requires_grad_()
y = x * x

y.backward()
print(x.grad)
# 报错：RuntimeError: grad can be implicitly created only for scalar outputs

报错了，只有对标量输出才能隐式地求梯度。即因为只能标量对标量，标量对向量求梯度， x 可以是标量或者向量，但 y 只能是标量；所以只需要先将 y 转变为标量，对分别求导没影响的就是求和。比如下面这样：

import torch
x = torch.tensor([1., 2.]).requires_grad_()
y = x * x

y = y.sum() # 求和，得到标量
y.backward()
print(x.grad)
# 输出：tensor([2., 4.])

此时，$x=[x_1,y_1]$，$y=[x_1^2,x_2^2]$ ，$y^{\prime }=y.sum()=x_1^2+x_2^2$ ，很显然，求梯度有：
$$\frac{\partial y^{\prime }}{\partial x_1}=2x_1=2\frac{\partial y^{\prime }}{\partial x_2}=2x_2=4$$
与程序输出相同。

为什么必须是标量呢？我们先写出当输出是一个向量 $y=[y_1,y_2]$ 时的雅克比矩阵：
$$J=[\frac{\partial y}{\partial x_1},\frac{\partial y}{\partial x_2}]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \frac{\partial y_1}{\partial x_2}\\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1}& \frac{\partial y_2}{\partial x_2}\end{array}\right]$$
而我们想要的是 $[\frac{\partial y_1}{\partial x_1},\frac{\partial y_2}{\partial x_2}]$ ，从矩阵计算的角度来看，是不是只要对雅克比矩阵左乘个 $[1,1]$ 就可以得到我们想要的了：
$$[\frac{\partial y_1}{\partial x_1},\frac{\partial y_2}{\partial x_2}]=[1,1]\cdot J$$
这就是不使用 y.sum() 的另一种方式，通过 backward 接口的 grad_tensors 参数（上面介绍过）：

x = torch.tensor([1., 2.]).requires_grad_()
y = x * x

y.backward(torch.ones_like(y))
print(x.grad)
# 输出：tensor([2., 4.])

如果要使用 torch.autograd.grad ，对应的接口形参是 grad_outputs ：

x = torch.tensor([1., 2.]).requires_grad_()
y = x * x

grad_x = torch.autograd.grad(outputs=y, inputs=x, grad_outputs=torch.ones_like(y))
# 或者
# grad_x = torch.autograd.grad(outputs=y.sum(), inputs=x)
print(grad_x[0])
# 输出：tensor([2., 4.])

实际上，grad_tensors 的作用其实可以简单地理解成在求梯度时的权重，因为可能不同值的梯度对结果影响程度不同，所以 Pytorch 弄了个这种接口，而没有固定为全是1。引用自知乎上的一个评论：如果从最后一个节点(总loss)来backward，这种实现(torch.sum(y*w))的意义就具体化为 multiple loss term with difference weights 这种需求了吧。

关于对输出矩阵求微分，更详细的可参考：PyTorch 的 backward 为什么有一个 grad_variables 参数？

几个细节

zero_grad

在写训练脚本时，我们通常在每次 backward 反传之前，都要进行一步 optimizer.zero_gard() ，这一步是做什么的呢？实际上就如同名字显示那样，本步的目的就是将目前叶子结点中上一步的梯度 grad 清零，然后再进行反传，计算本 batch 的梯度。

那能不能不每次都清零梯度呢？实际上是可以的，这可以作为一种变相增大 batch size 的 trick。如果我们的机器每个 batch 最多只能 64 个样本，那我们设置每步都计算梯度并累计到叶子结点的 grad 属性中，但是每隔一步才进行一次参数更新和梯度清零，这就相当于 batch_size 成了 128。但这也会出现一些问题，比如 BN 怎么办，这在知乎上也有一些问题有讨论过，感兴趣可以查一下。

model.zero_grad()还是optimizer.zero_grad()?

看代码时，有时候会看到 model.zero_grad() ，有时又会看到 optimizer.zero_grad() ，到底有什么区别呢？

我们知道模型就是一堆参数按照特定的运算结构组织起来，我们在构建 optimizer 时会把优化器要优化的参数传递给它，比如：

optimizer = Adam(model.parameters(), lr=lr)

常规情况下传入优化器的只有 model.parameters()，但是并不总是如此。有时候，整个模型要优化的不只有模型本身的参数，还可能有一些自定义的 parameters，比如：

pref_vec = torch.nn.Parameter(torch.randn(1, 512))
optimizer = Adam([{
    
    'params': model.parameters()}, {
    
    'params': pref_vec}], lr=lr)

在这种情况下 model.parameters() 与 pref_vec 是一起更新的，都有 optimizer 这个优化器来更新。

指出这一点之后，大家应该就明白 model.zero_grad() 和 optimizer.zero_grad() 的区别了。它们指向的待更新参数（叶子结点）不一定是一样的。一般情况下（优化器待更新参数就是模型参数）二者是等价的，但是如果待更新的参数除了模型的参数之外还有一些自定义的参数，就必须用 optimizer.zero_grad() 了。

detach

detach 会切断当前张量与计算图之间的联系，不会再往后计算梯度。

假设有模型 A 和模型 B，我们需要将 A 的输出作为 B 的输入，但训练时我们只训练模型B，那么可以这样做：

input_B = output_A.detach()

inplace

inplace 操作顾名思义，就是直接在原地改变张量的值，而不是计算后得到一个新的张量并返回。

注意：叶子节点不可执行 in-place 操作，因为反向传播时会访问原来的对象地址。

关于 inplace 操作也有很多坑，经常见到的一个报错是：

RuntimeError: one of the variables needed for gradient computation has been modified by an inplace operation: ...

关于 inplace 操作的问题在 PyTorch 的 Autograd 中有详细的讨论。

Ref

1. Pytorch autograd官方文档
2. 一文解释PyTorch求导相关 (backward, autograd.grad)
3. MAML-Pytorch
4. 机器学习系统:设计与实现 计算图
5. 浅谈 PyTorch 中的 tensor 及使用
6. PyTorch 的 Autograd
7. 一文解释PyTorch求导相关 (backward, autograd.grad)
8. PyTorch 的 backward 为什么有一个 grad_variables 参数？
9. Pytorch autograd,backward详解