平常都是无脑使用backward，每次看到别人的代码里使用诸如autograd.grad这种方法的时候就有点抵触，今天花了点时间了解了一下原理，写下笔记以供以后参考。以下笔记基于Pytorch1.0

Tensor

Pytorch中所有的计算其实都可以回归到Tensor上，所以有必要重新认识一下Tensor。如果我们需要计算某个Tensor的导数，那么我们需要设置其.requires_grad属性为True。为方便说明，在本文中对于这种我们自己定义的变量，我们称之为叶子节点(leaf nodes)，而基于叶子节点得到的中间或最终变量则可称之为结果节点。例如下面例子中的x则是叶子节点，y则是结果节点。

x = torch.rand(3, requires_grad=True)
y = x**2
z = x + x

另外一个Tensor中通常会记录如下图中所示的属性：

data: 即存储的数据信息
requires_grad: 设置为True则表示该Tensor需要求导
grad: 该Tensor的梯度值，每次在计算backward时都需要将前一时刻的梯度归零，否则梯度值会一直累加，这个会在后面讲到。
grad_fn: 叶子节点通常为None，只有结果节点的grad_fn才有效，用于指示梯度函数是哪种类型。例如上面示例代码中的y.grad_fn=<PowBackward0 at 0x213550af048>, z.grad_fn=<AddBackward0 at 0x2135df11be0>
is_leaf: 用来指示该Tensor是否是叶子节点。

图片出处：PyTorch Autograd

torch.autograd.backward

有如下代码：

x = torch.tensor(1.0, requires_grad=True)
y = torch.tensor(2.0, requires_grad=True)
z = x**2+y
z.backward()
print(z, x.grad, y.grad)

>>> tensor(3., grad_fn=<AddBackward0>) tensor(2.) tensor(1.)

可以z是一个标量，当调用它的backward方法后会根据链式法则自动计算出叶子节点的梯度值。

但是如果遇到z是一个向量或者是一个矩阵的情况，这个时候又该怎么计算梯度呢？这种情况我们需要定义grad_tensor来计算矩阵的梯度。在介绍为什么使用之前我们先看一下源代码中backward的接口是如何定义的：

torch.autograd.backward(
        tensors, 
        grad_tensors=None, 
        retain_graph=None, 
        create_graph=False, 
        grad_variables=None)

tensor: 用于计算梯度的tensor。也就是说这两种方式是等价的：torch.autograd.backward(z) == z.backward()
grad_tensors: 在计算矩阵的梯度时会用到。他其实也是一个tensor，shape一般需要和前面的tensor保持一致。
retain_graph: 通常在调用一次backward后，pytorch会自动把计算图销毁，所以要想对某个变量重复调用backward，则需要将该参数设置为True
create_graph: 当设置为True的时候可以用来计算更高阶的梯度
grad_variables: 这个官方说法是grad_variables' is deprecated. Use 'grad_tensors' instead.也就是说这个参数后面版本中应该会丢弃，直接使用grad_tensors就好了。

好了，参数大致作用都介绍了，下面我们看看pytorch为什么设计了grad_tensors这么一个参数，以及它有什么用呢？

还是用代码做个示例

x = torch.ones(2,requires_grad=True)
z = x + 2
z.backward()

>>> ...
RuntimeError: grad can be implicitly created only for scalar outputs

当我们运行上面的代码的话会报错，报错信息为RuntimeError: grad can be implicitly created only for scalar outputs。

上面的报错信息意思是只有对标量输出它才会计算梯度，而求一个矩阵对另一矩阵的导数束手无策。

\[ X = \left[\begin{array}{cc} x_0 & x_1 \\ \end{array}\right] \,\,\,\,\,\,\,\,\,\ Z=X+2=\left[\begin{array}{cc} x_0+2 & x_1+2 \\ \end{array}\right] \Rightarrow \frac{\partial{Z}}{\partial{X}}=? \]

那么我们只要想办法把矩阵转变成一个标量不就好了？比如我们可以对z求和，然后用求和得到的标量在对x求导，这样不会对结果有影响，例如：

\[ \begin{align} &Z_{sum}=\sum{z_i}=x_0+x_1+8 \notag \\ &\text{then} \,\,\,\,\, \frac{\partial{Z_{sum}}}{\partial{x_0}}=\frac{\partial{Z_{sum}}}{\partial{x_1}}=1 \notag \end{align} \]

我们可以看到对z求和后再计算梯度没有报错，结果也与预期一样：

x = torch.ones(2,requires_grad=True)
z = x + 2
z.sum().backward()
print(x.grad)

>>> tensor([1., 1.])

我们再仔细想想，对z求和不就是等价于z点乘一个一样维度的全为1的矩阵吗？即\(sum(Z)=dot(Z,I)\),而这个I也就是我们需要传入的grad_tensors参数。(点乘只是相对于一维向量而言的，对于矩阵或更高为的张量，可以看做是对每一个维度做点乘)

代码如下：

x = torch.ones(2,requires_grad=True)
z = x + 2
z.backward(torch.ones_like(z)) # grad_tensors需要与输入tensor大小一致
print(x.grad)

>>> tensor([1., 1.])

弄个再复杂一点的：

x = torch.tensor([2., 1.], requires_grad=True).view(1, 2)
y = torch.tensor([[1., 2.], [3., 4.]], requires_grad=True)

z = torch.mm(x, y)
print(f"z:{z}")
z.backward(torch.Tensor([[1., 0]]), retain_graph=True)
print(f"x.grad: {x.grad}")
print(f"y.grad: {y.grad}")

>>> z:tensor([[5., 8.]], grad_fn=<MmBackward>)
x.grad: tensor([[1., 3.]])
y.grad: tensor([[2., 0.],
        [1., 0.]])

结果解释如下：

总结：

说了这么多，grad_tensors的作用其实可以简单地理解成在求梯度时的权重，因为可能不同值的梯度对结果影响程度不同，所以pytorch弄了个这种接口，而没有固定为全是1。引用自知乎上的一个评论：如果从最后一个节点(总loss)来backward，这种实现(torch.sum(y*w))的意义就具体化为 multiple loss term with difference weights 这种需求了吧。

torch.autograd.grad

torch.autograd.grad(
        outputs, 
        inputs, 
        grad_outputs=None, 
        retain_graph=None, 
        create_graph=False, 
        only_inputs=True, 
        allow_unused=False)

看了前面的内容后在看这个函数就很好理解了，各参数作用如下：

outputs: 结果节点，即被求导数
inputs: 叶子节点
grad_outputs: 类似于backward方法中的grad_tensors
retain_graph: 同上
create_graph: 同上
only_inputs: 默认为True, 如果为True, 则只会返回指定input的梯度值。若为False，则会计算所有叶子节点的梯度，并且将计算得到的梯度累加到各自的.grad属性上去。
allow_unused: 默认为False, 即必须要指定input,如果没有指定的话则报错。

Pytorch autograd,backward详解

Tensor

torch.autograd.backward

torch.autograd.grad

参考

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