莫比乌斯函数
定义
设\(n=\prod_{i=1}^{k} p_i^{c_i}\)，则\(\mu(n)=(-1)^k\)，特别地\(\mu(1)=1\)。
性质
最常用性质
\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)
反演性质
\(F(n)=\sum_{d|n}f(d) \Longleftrightarrow f(n)=\sum_{d|n}F(d)\mu(\frac{n}{d})\)
\(F(n)=\sum_{n|d}f(d) \Longleftrightarrow f(n)=\sum_{n|d}F(d)\mu(\frac{d}{n})\)
常用性质
\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)=1]=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor \lfloor\frac{n}{d}\rfloor\)
欧拉函数
定义
设\(n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i}\)，有\(\phi(n)=n\prod_{i=1}^{k}\frac{p_i-1}{p_i}\)。
性质
最常用性质
\(\sum_{d|n}\phi(d)=n\)
零零散散的一些性质（没收集完）
\(\phi(ab)=\frac{\phi(a)\phi(b)gcd(a,b)}{\phi(gcd(a,b))}\)
与莫比乌斯函数的联系
$\frac{\phi(n)}{n}=\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d} \Longleftrightarrow \phi(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})d $
杜教筛
思路
狄利克雷卷积
两函数\(f,g\)的狄利克雷卷积\((f*g)\)定义如下：
\((f*g)(i)=\sum_{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})\)
函数前缀和
令\(S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)\)
\(\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})\\=\sum_{d=1}^{n}g(d)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor }f(i)\\=\sum_{d=1}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor )\)
移项得：
\(g(1)S(n)=\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-\sum_{d=2}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor )\)
于是可以递归求解。
莫比乌斯函数前缀和
令\(f(i)=\mu(i),g(i)=1\)，有：
\(\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\mu(\frac{i}{d})\\=\sum_{i=1}^{n}[i=1]\\=1\)
所以\(S(n)=1-\sum_{d=2}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor )\)
欧拉函数前缀和
令\(f(i)=\phi(i),g(i)=1\)，有：
\(\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\phi(\frac{i}{d})\\=\sum_{i=1}^{n}i\\=\frac{n(n+1)}{2}\)
所以\(S(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{d=2}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor )\)
其他一些函数的前缀和
若\(f(i)=\mu(i)*i\)，则\(g(i)=i\)。
\(\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}d*\frac{i}{d}*\mu(\frac{i}{d})\\=\sum_{i=1}^{n}i\sum_{d|i}\mu(\frac{i}{d})\\=\sum_{i=1}^{n}[i=1]\\=1\)
所以\(S(n)=1 - \sum_{d=2}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor )\)
留个大坑先。。。。。