图形学笔记（二）图形学中的线性代数——向量、矩阵（转置、逆）、叉乘、点乘

图形学笔记（一）图形学概览：图形学的定义、应用、学习内容、参考读物、与视觉的区别
图形学笔记（三）变换——缩放、镜像、切变

此节对应虎书第二章（Miscellaneous Math）与第五章（Linear Algebra）

1. 图形学所需基础

1.1 基础数学

• 线性代数，微积分，统计 Linear algebra,calculus,statics

1.2 基础物理

• 光学，力学 Opitics,Mechanics

1.3 其他

• 信号处理 Signal processing （走样、反走样）
• 数值分析 Numerical analysis

需要一点美学…

2. 向量Vectors

2.1 向量的基本性质

• 写作 $\vec{a}$ 或粗体的 a
• 由起点和终点表示 $\overrightarrow{AB}$
• 具有方向和长度
• 没有绝对的开始位置

2.2 向量标准化

• 向量的长度写作 ||$\vec{a}$||

2.2.1 单位向量

• 单位向量是长度为1的向量
• 单位向量的获得：$\hat{a}$=$\vec{a}$/||$\overrightarrow{a}$||
• 使用单位向量来代表方向

2.3 向量的基本操作

2.1 向量相加

• 几何上：平行四边形法则（左）和三角形法则（右）。
• 代数上：简单的坐标相加

2.2 向量的表示

• 笛卡尔坐标系中的X和Y可以是任何向量（通常是垂直的）
• 一般向量表示是列向量
  $$A=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$
  也可以转置来表示成行向量：
  $$A^T=(x,y)$$
  计算向量长度：
  $$\Vert A\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$$

2.3 向量的点乘

2.3.1 点乘的基本运算

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\Vert \overrightarrow{a}\Vert \Vert \overrightarrow{b}\Vert \cos \theta$$

• 点乘可以获得夹角：
  $$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\Vert \overrightarrow{a}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{b}\Vert }$$
• 对于单位向量：
  $$\cos \theta =\hat{a}\cdot \hat{b}$$
  注意：向量点乘最后得到的是一个数。

2.3.2 点乘的性质

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2.3.3 在笛卡尔坐标系下的点乘运算：

2.3.4 点乘在图形学的应用

1. 找到两个向量的夹角：光来的方向、物体表面的法线、相机看的方向等等的夹角可以通过这个运算得到。
2. 找到一个向量投影到一个向量的结果
   
   其中，${\overrightarrow{b}}_{\perp }$是$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影，且${\overrightarrow{b}}_{\perp }$ 是沿着$\overrightarrow{a}$或者$\hat{a}$的。有以下公式，其中k是向量长度：
   $${\overrightarrow{b}}_{\perp }=k\hat{a}$$
   $$k=\Vert {\overrightarrow{b}}_{\perp }\Vert =k\hat{a}=\Vert \overrightarrow{b}\Vert \cos \theta$$

2.3.5 投影的用处：

1. 投影可以让一个向量分解成两个向量。（这两个向量互相垂直）
   
   如图所示，计算出投影后，垂直于向量$\vec{b}$投影方向的分量可以通过$\vec{b}-{\vec{b}}_{\perp }$获得。
2. 根据点乘的结果计算两个方向有多么接近
3. 判断前与后的信息
   
   如图所示，虚心将圆分割成两半，如果在forward区域内（点乘>0），就说$\vec{a}$与$\vec{b}$是同向的，点乘为1说明完全同向，在backward区域内（点乘>0），就说$\vec{a}$与$\vec{b}$是反向的，点乘为-1说明完全相反。点乘为0说明垂直。

2.4 向量的叉乘

2.4.1 基本概念

1. 叉积是两个向量的垂直向量，即叉积得到的向量与另外两个向量都垂直。
2. 方向通过右手（螺旋）定则判断。能看出来向量的叉积不满足交换律，交换后的结果是相反的。
   eg：判断从$\vec{a}$到$\vec{b}$就让四指的方向从$\vec{a}$到$\vec{b}$，大拇指的方向就是叉积的方向。
3. 对构建坐标系是有用的。如果三轴满足$\vec{x}\times \vec{y}=\vec{z}$，则这个坐标系是右手坐标系。，但是一些软件是左手坐标系，需要注意。

2.4.2 叉积的性质

2.4.3 笛卡尔坐标系下的叉乘

叉乘也可以表示为矩阵形式：

2.4.3 叉乘在图形学中的作用

1. 判断左和右
   
   如果$\vec{a}$顺时针旋转能到$\vec{b}$，就说$\vec{a}$在$\vec{b}$的左侧，逆时针就是右侧。
   计算$\vec{a}$与$\vec{b}$的叉积，如果叉积的z是正的，就说明$\vec{b}$在$\vec{a}$的左侧，叉积的z是负的，就是在右侧。
   例如上图中，$\vec{b}$在$\vec{a}$的左侧，
2. 判断内与外
   

如图所示，$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AP}>0$，说明P在AB的左边， $\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BP}>0$，说明P在BC的左边 ，$\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CP}>0$ ，说明P在CA的左边。

如果进行三个叉积运算的结果都为正或都为负，表明点都在三角形边的左边或者都在右边，故说明P在三角形内部。
否则说明点在三角形外面。

3. 直角坐标系的确定与坐标
   

3.矩阵

3.1 什么是矩阵

• 矩阵是数字的排列。（$m\times n$的矩阵是m行，n列的。）
  
• 矩阵的加法和数乘就是对矩阵的每一个元素都相加或都乘以这个数。

3.2 矩阵的乘积

3.2.1 可以做乘积的条件

第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数，M行N列和N行P列做叉积，结果是M行P列的。

3.2.2 乘积的运算

结果矩阵中（i，j）位置的数是A中第i行和B中第j列的点积。

eg：在上图中，26（结果矩阵2行4列）=5（左边2行）·4（右边4列）+2（左边2行）·3（右边4列）

3.2.3 矩阵乘积的性质

1. 没有交换律
2. 满足结合律（括号随便放，左右不能换）和分配律
   
3. 与向量做乘积时，把向量当作列向量（m $\times$ 1）
4. 矩阵的乘积对变化很重要
   eg：求镜像
   

3.3 矩阵的转置

• 矩阵的转置：交换矩阵的行和列（ij->ji）
  
• 转置的性质：
  $$(AB{)}^T=B^T{A}^T$$

3.4 特殊矩阵

3.4.1 单位矩阵

只有主对角线的元素不为0，且全都为1的矩阵，记为I。

3.4.2 矩阵的逆

• 逆矩阵的定义：与该矩阵相乘能得到单位矩阵的矩阵称为逆矩阵（两矩阵互逆）。
  
• 逆矩阵的性质
  $$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$$

4. 向量点乘和叉乘的矩阵形式

4.1 点乘的矩阵形式

4.2 叉乘的矩阵形式

其中$A^{\ast }$是伴随矩阵。