1 Bresenham直线

1.1 起始条件

终点坐标
起始点坐标

通过终点坐标和起始点坐标可以得到直线方程：

$KaTeX parse error: Undefined control sequence: \label at position 8: y=kx+b\̲l̲a̲b̲e̲l̲{1}\tag{1}$

然后选定主位移方向：
$\begin{cases} X\text{轴}& \left|k\right|<1\\\tag{2} Y\text{轴}& \left|k\right|>1\\ \end{cases}$

1.2 构造中点误差项

从 $P_i(\text{x}_i,\text{y}_i)$ 点走第一步后为了选取下一个像素点，需将 $P_u$ 和 $P_d$ 的中点 $M(\text{x}_i+1,\text{y}_i+0.5)$ 带入直线的隐函数方程，构造中点误差项 $d_i$
$d_i=F(x_{_M},y_{_M})=F(x_i+1,y_i+0.5)=y_i+0.5-k(x_i+1)-b\tag{3}$
根据 $d_i$ 判断选择下一个点为 $P_u$ 还是 $P_d$
$y_{i+1}= \begin{cases} y_{i}+1,& d_i<0\\\tag{4} y_i,& d_i\geqslant0 \end{cases}$

1.3 递推公式☆

1.3.1 中点误差项的递推公式

当 $d_i<0$ 时，下一步进行判断的中点坐标为 $M(x_i+2,y_i+1.5)$ 。所以下一步中点误差项为：

$\begin{aligned} d_{i+1}&=F（x_i+2,y_i+1.5）=y_i+1.5-k(x_i+2)-b\\ &=y_i+0.5-k(x_i+1)-b+1-k\\ &=d_i+1-k \end{aligned}\tag{5}$

当 $d_i\geqslant0$ 时，下一步的中点坐标为 $M(x_i+2,y_i+0.5)$ 。所以下一步中点误差项为：
$\begin{aligned} d_{i+1}&=F（x_i+2,y_i+0.5）=y_i+0.5-k(x_i+2)-b\\ &=y_i+0.5-k(x_i+1)-b-k\\ &=d_i-k \end{aligned}\tag{6}$

1.3.2 中点误差项的初始值

假设以 $x$ 为主位移方向。因此，第一个中点坐标是 $x_0+1,y_0+0.5)$ ，相应的 $d_i$ 的初始值为：
$\begin{aligned} d_0&=F(x_0+1,y_0+0.5)=y_0+0.5-k(x_0+1)-b\\ &=y_0-kx_0-b-k+0.5 \end{aligned}\tag{7}$
其中，因此 $x0，y_0)$ 在直线上，所以 $y_0-kx_0-b=0$ ，则

$d_i=0.5-k\tag{8}$

1.4 算法流程图

1.5 代码

void CMFCApplication1View::DrawLine(CDC* pDC, int x1, int y1, int x2, int y2)
{
	// TODO: 在此处添加实现代码.
	int dx = x2 - x1;
	int dy = y2 - y1;
	int deltaY = 0;
	int middle = dx;
	int y = y1;
	for (int i = x1;i < x2;i++) {
		pDC->SetPixel(i, y, RGB(30, 30, 30));
		deltaY += 2 * dy;
		if (deltaY >= middle) {
			y += 1;
			middle += 2 * dx;
		}
	}
	pDC->SetPixel(x2, y2, RGB(30, 30, 30));
}

1.6

void CMFCApplication1View::DrawLine(int x1, int y1, int x2, int y2, CDC* pDC){

	// TODO: 在此处添加实现代码.
	int dx = x2 - x1;
	int dy = y2 - y1;
	int di = 2*dx - 2*dy;
	int y = y1;
	for (int i = x1; i < x2; i++) {
		pDC->SetPixel(i, y, RGB(30, 30, 30));
		if (di < 0){
			di = di + 2 * (dx - dy);
			y++;
		}
		else{
			di = di - 2 * dy;

		}
	}
}

2 Bresenham圆

圆只需要画 $\frac{1}{8}$ 的圆弧就行了，剩下的圆弧可以通过对称得到。

2.1 起始条件

半径R
起始点（x,y）

主位移方向为X轴方向

2.2 构造中点误差项

从 $P_i(\text{x}_i,\text{y}_i)$ 点走第一步后为了选取下一个像素点，需将 $P_u$ 和 $P_d$ 的中点 $M(\text{x}_i+1,\text{y}_i+0.5)$ 带入圆的隐函数方程，构造中点误差项 $d_i$
$d_i=F(x_{_M},y_{_M})=F(x_i+1,y_i-0.5)=(x_i+1)^2+(y_i-0.5)^2-R^2\tag{9}$
根据 $d_i$ 判断选择下一个点为 $P_u$ 还是 $P_d$
$y_{i+1}= \begin{cases} y_{i},& d_i<0\\\tag{10} y_i-1,& d_i\geqslant0 \end{cases}$

2.3 递推公式☆

2.3.1 中点误差项的递推公式

当 $d_i<0$ 时，下一步进行判断的中点坐标为 $M(x_i+2,y_i-0.5)$ 。所以下一步中点误差项为：

$\begin{aligned} d_{i+1}&=F（x_i+2,y_i-0.5）=(x_i+2)^2+(y_i-0.5)^2-R^2\\ &=(x_i+1)^2+(y_i-0.5)^2-R^2+2x_i+3\\ &=d_i+2x_i+3 \end{aligned}\tag{11}$

当 $d_i\geqslant0$ 时，下一步的中点坐标为 $M(x_i+2,y_i-1.5)$ 。所以下一步中点误差项为：
$\begin{aligned} d_{i+1}&=F（x_i+2,y_i-1.5）=(x_i+2)^2+(y_i-1.5)^2-R^2\\ &=(x_i+1)^2+(y_i-0.5)^2-R^2+2x_i+3+(-2y_i+2)\\ &=d_i+2(x_i-y_i)+5 \end{aligned}\tag{12}$

2.3.2 中点误差项的初始值

以 $x$ 为主位移方向。因此，第一个中点坐标是 $(1, R - 0.5)$ ，相应的 $d_i$ 的初始值为：
$\begin{aligned} d_0&=F(1,R-0.5)=1+(R-0.5)^2-R^2=1.25-R \end{aligned}\tag{13}$

2.4 算法流程图

2.5 代码

void CMFCApplication1View::BreCircle(int x0, int y0, int R, CDC* pDC)
{
	// TODO: 在此处添加实现代码.
	int x = x0;
	int y = R;
	float di = 1.25 - R;
	while (x <= y) {
		CirclePoint(pDC, x, y);
		pDC->SetPixel(x, y, RGB(30, 30, 30));
		if (di <= 0) {
			di = di + 2 * x + 3;
			x += 1;
		}
		else {
			di = di + 2 * (x - y) + 5;
			x += 1;
			y -= 1;
		}
	}
}

3 Bresenham椭圆

3.1 起始条件

长半轴a
短半轴b

椭圆画出 $\frac{1}{4}$ 的圆弧的就行了，其他三个圆弧可以通过对称得到。但是第一个圆弧的主位移方向会发生变化，需要分情况讨论。我们通过法矢量的两个分量进行讨论。

椭圆上任意一点的处的法矢量：
$KaTeX parse error: Undefined control sequence: \symbfit at position 80: …tial{y}}j=2b^2x\̲s̲y̲m̲b̲f̲i̲t̲{i}+2a^2y\symbf…$
确定主位移方向：
$\begin{cases} X轴,& 2b^2x≥2a^2y\\ Y轴,& 2b^2x＜2a^2y\tag{15} \end{cases}$

3.2 构造中点误差项及递推式☆

3.2.1 上半部分的中点误差项初始值

上半部分椭圆弧的起点坐标为 $A (0, b)$ ，因此，第一个中点坐标为 $(1, b - 0.5)$ ，对应的 $d_1i$ 的初始值为：
$d_1i=F(1,b-0.5)=b^2+a^2(-b+0.25)\tag{16}$

3.2.2 上半部分中点误差项递推式

$KaTeX parse error: Undefined control sequence: \textless at position 100: …(2x_i+3)&d_{1i}\̲t̲e̲x̲t̲l̲e̲s̲s̲0\tag{17} \end{…$

$y_{i+1}= \begin{cases} y_{i},& d_i<0\\\tag{18} y_i-1,& d_i\geqslant0 \end{cases}$

3.2.1 下半部分的中点误差项初始值

$d_{2i}=F(x_{_M},y_{_M})=b^2(x_i+0.5)^2+a^2(y_i-1)^2-a^2b^2\tag{19}$

3.2.2 下半部分中点误差项递推式

$KaTeX parse error: Undefined control sequence: \textless at position 101: …-2y_i+3)&d_{2i}\̲t̲e̲x̲t̲l̲e̲s̲s̲0\tag{20} \end{…$

$y_{i+1}= \begin{cases} y_{i},& d_i<0\\\tag{21} y_i-1,& d_i\geqslant0 \end{cases}$

3.3 算法流程图

3.4 代码

void CMFCApplication1View::BreEllipse(CDC* pDC,int a,int b) {
	int x0 = 0;
	int y0 = b;
	float di1 = b * b + a * a * (-b + 0.25);
	int x = x0;
	int y = y0;
	int dx = 2 * b * b * x;
	int dy = 2 * a * a * y;

	while (dy>=dx)
	{
		if (di1 < 0) {
			di1 = di1 + b * b * (2 * x + 3);
			x = x + 1;
			y = y;
		}
		else {
			di1 = di1 + b * b * (2 * x + 3) + a * a * (2 - 2 * y);
			x = x + 1;
			y = y - 1;
		}
		dx = 2 * b * b * x;
		dy = 2 * a * a * y;
		EllipsePoint(pDC, x, y);
	}
	float di2 = b * b * (x + 0.5) * (x + 0.5) + a * a * (y - 1) * (y - 1) - a * a * b * b;
	while (y>=0) {
		if (di2 < 0) {
			di2 = di2 + b * b * (2 * x + 2) + a * a * (3 - 2 * y);
			x = x + 1;
			y = y - 1;
		}
		else
		{
			di2 = di2 + a * a * (3 - 2 * y);
			x = x;
			y = y - 1;
		}
		EllipsePoint(pDC, x, y);
	}
}

4 Wu反走样算法

4.1 原理

对上下的两个点同时绘制，根据距离设置不同亮度
$\frac{P_u亮度}{P_d亮度}=\frac{Distance_{_{P_uF_i}}}{Distance_{_{P_dF_i}}}$

4.2 算法流程图

4.3 代码

void CMFCApplication1View::WuLine(CDC *pDC,int x1,int y1,int x2,int y2) {
	float k = (y2 - y1) * 1.0 / (x2 - x1);
	float deltae = k;
	int y = y1;
	pDC->SetPixel(x1, y1, RGB(0, 0, 0));
	for (int i = x1+1;i <= x2-1;i++) {
		if (deltae <= 0.5) {
			y = y;
			pDC->SetPixel(i, y, RGB(deltae * 255, deltae * 255, deltae * 255));
			pDC->SetPixel(i, y+1, RGB((1-deltae) * 255, (1 - deltae) * 255, (1 - deltae) * 255));

		}
		else {
			y = y + 1;
			pDC->SetPixel(i, y, RGB((1 - deltae) * 255, (1 - deltae) * 255, (1 - deltae) * 255));
			pDC->SetPixel(i, y - 1, RGB(deltae * 255, deltae * 255, deltae * 255));
		}
		deltae = deltae + k;
		if (deltae > 1) {
			deltae -= 1;
		}
	}
	pDC->SetPixel(x2, y2, RGB(0, 0, 0));

}

5 重建坐标系

//将坐标系移到中点
CRect rect;
GetClientRect(rect);
pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);
pDC->SetWindowExt(rect.Width(), rect.Height());
pDC->SetViewportExt(rect.Width(), -rect.Height());
pDC->OffsetViewportOrg(rect.Width() / 2, rect.Height() / 2);

GetClientRect(rect);//获取指定窗口的客户区域大小

pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//设备视图和逻辑视图可以任意改变

pDC->SetWindowExt(rect.Width(), rect.Height());//逻辑范围

pDC->SetViewportExt(rect.Width(), -rect.Height());//设备范围,以及Y轴方向

pDC->OffsetViewportOrg(rect.Width() / 2, rect.Height() / 2);//视图中心偏移

//以物理设置坐标原点为基础（显示作用），以逻辑为单位（逻辑用于按比例设置单位）