费马小定理&欧拉定理&扩展欧拉定理(欧拉降幂)

费马小定理

定理：

若$p$为质数且$p$和$a$互质那么就有$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

证明：

$a^p=(a-1+1{)}^p$
然后二项式展开
$a^p=(a-1{)}^p+C_p^1(a-1{)}^{p-1}+...+1$
由于$C_p^i=\frac{p!}{i!(p-i)!},(i>1且i<p)$
所以$p|C_p^i$
得

1. $a^p\equiv (a-1{)}^p+1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

把1式的$(a-1{)}^p$再当做$a^p$进行重复操作。最终的得到：
$a^p\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
也就是$a(a^{p-1}-1)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
也就是$p|a(a^{p-1}-1)$，由于p与a互质所以
$p|a^{p-1}-1$
也就是$a^{p-1}-1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
也就是$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

欧拉定理

定理

若对于两个整数$a,p$满足$a$与$p$互质，则$a^{\varphi (p)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

证明

对于两个整数a,p考虑两个集合：
P = { x ∣ g c d ( x , p ) = 1 且 1 ≤ x ≤ p } P = \{x|gcd(x,p) =1且1 \le x \le p \} P={ x∣gcd(x,p)=1且1≤x≤p}
Q = { a x ∣ x ∈ P } Q = \{ax|x \in P\} Q={ ax∣x∈P}
因为$gcd(x,p)=1以及gcd(a,p)=1$
所以$gcd(ax,p)=1$
任意取两个Q中的元素$a{x}_1,a{x}_2$且规定$a{x}_1<a{x}_2$
则$a{x}_2-a{x}_1=a(x_2-x_1)$由于$x_1,x_2<p$所以$(x_2-x_1)$不能被p整除，故Q中元素在模p的意义下各不相同
在模p下Q的元素各不相同，且等于P的元素数目，故在模p意义下$P=Q$
所以$\prod _{x\in P}x\equiv \prod _{x\in P}ax(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
得到$\prod _{x\in P}x\equiv a^{\varphi (p)}\prod _{x\in P}x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
由于$gcd(\prod _{x\in P}x,p)=1$
所以
$a^{\varphi (p)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

扩展欧拉定理：

$a^b\equiv \{\begin{array}{c}{a}^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (p)}(gcd(a,p)=1)\\ a^b(gcd(a,p)!=1,b<\varphi (p))\\ a^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (p)+\varphi (p)}(gcd(a,p)!=1,b\ge \varphi (p))\end{array}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
$\frac{a}{b}\equiv \frac{a\%p}{b\%p}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$