欧拉定理和费马小定理

前置工作

在分析这两个定理之前,先引入几个重要的定义和定理:
${definition:}\\ 所有对自然数m同余的自然数组成的集合称m的 \textbf{ \textit{完全剩余类}}.\\ 所有对自然数m同余的且余数和m互质的自然数组成的集合称m的 \textbf{ \textit{简化剩余类}}.\\ 在每个\textbf{完全剩余类}中任取一个,组成的集合称m的 \textbf{ \textit{完全剩余系}}.\\ 在每个\textbf{简化剩余类}中任取一个,组成的集合称m的 \textbf{ \textit{简化剩余系}}.\\$
$\varphi(m)指简化剩余系的元素数.换句话说,就是(0,m)中和m互质的整数的数量.\\$

将m的某剩余类a划分为mn的剩余类的和:

该类可表示为 $a+mk,k\in\mathbb{z}$ .又全体整数可对n分为0,1,…n-1,则对k分解,有
$\{a+mk\}=\{a+tmn\}\cup\{a+(t+1)mn\}\cup...\cup\{a+(t+n-1)mn\}$
这就是对m的某个剩余类对 $m\dot n$ 的进一步分划.重点在于对a所在剩余类的描述是 $a+km$ 而不是常规的 $km+b$ (好像也没差)
注意是对k分解.

关于同余的一些重要性质:

${theorem:}\\ if\ a\equiv b \pmod m \\ a+c\equiv b +c \pmod m\\$
同余的两数可以同乘
$if\ a\equiv b \pmod m \\ ka\equiv kb \pmod m$
可以同除一个对m互质的数
$if\ ak\equiv bk \pmod m \\ 且(k,m)=1\\ 则\ a\equiv b \pmod m \\$
同余的两数可以同乘.如果是正整数,可以带上m一起乘.
而且反之亦然.
$if\ a\equiv b \pmod m \\ ka\equiv kb \pmod {km}$
整系数的多项式组合也满足该关系.
$if\ a\equiv b \pmod m \\ f(a)\equiv f(b)\pmod m\\$

最后一条也是一个推论.
//To do:过段时间再整理这一部分.

接下来是剩余系的遍历定理:

if a,m互质,则当x遍历m的一个完全剩余系的同时ax+b遍历m的一个完全剩余系
if a,m互质,则当x遍历m的一个简化剩余系的同时ax遍历m的一个简化剩余系
if (m,n)=1,当x遍历n的完全剩余系,y遍历m的完全剩余系,mx+ny遍历mn的完全剩余系.
简化剩余系亦同.

下面做一点分析.

对于一个完全剩余系 $\{ r_1,r_1...r_m \}$ ,里面的元素互不相等也不同余…
因为a,m互质, $ar_i+b\ \equiv\not ar_j+b\pmod m$ [这个地方要好好想一想].x遍历 $\{ r_1,r_1...r_m \}$ 时,ax+b分属m个不同的剩余类,形成一个完全剩余系.
进一步的, $gcd(a,m)=1\rightarrow gcd(ar_i,m)=1$ 所以x遍历简化剩余系的时候ax也分属每个简化剩余类,形成简化剩余系.

欧拉定理

${Theorem:}\\ if gcd(a,m)=1\rightarrow a^{\varphi (m)}\equiv 1 \pmod m$
下面是解释.
$r_1,r_2,...,r_{\varphi(m)}是m的简化剩余系,\\ 则\\ ar_i 组成一个新的简化剩余系\\ ar_1\cdot ar_2 \cdot ...\cdot ar_{\varphi(m)}=a^{\varphi(m)}\cdot r_1\cdot r_2\cdot ... r_{\varphi(m)}\\ r_1\cdot r_2\cdot ....\cdot r_{\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}\cdot r_1\cdot r_2\cdot ... r_{\varphi(m)}\pmod m\\ 又\forall r_i,没有任何一个和m相同的质数分解方案(1不算)(否则就不叫互质了),所以\\ r_1\cdot r_2\cdot ....\cdot r_{\varphi(m)}与m互质.\\ 应用之前提到的同余的性质,两边同除 r_1\cdot r_2\cdot ....\cdot r_{\varphi(m)},\\ 得欧拉定理a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod m.\\$
欧拉定理的关键就是简化剩余系的ax遍历性质,以及同余式两边的消去.这里再次强调:

如果同除的系数互质于m,则可以只用除两个同余数;
如果不确定是否互质,则应该三个参数一起除.

如果是扩增:

可以三个同乘;
也可以不加限制的两个同乘(至少得是整数),而同除就不行
也可以整数项多项式同时套用在两个同余数上而m不动.

费马小定理

${Theorem:}\\ if\ p为素数,\forall a\in\mathbb{z},\ a^p\equiv a\pmod p$
下面做一点解释.

$if\ gcd(a,p)=1,\\ 由欧拉定理,a^{p-1}\equiv 1\pmod p\\ 因为素数p的简化剩余系数量为p-1$
$if\ gcd(a,p)=\not 1,p|a.\\ a\equiv 0 \pmod p\\ 则 a^p\equiv a\equiv 0\pmod p\\ 因为都是p的整数倍$

这就很清楚了.

下一篇尝试写写这两个定理的应用解题,以及在一些地方的应用.下下篇或许是一个tool:模重复平方法,用于在大数环境下求 $a^e\pmod m$ 的.