常用数论定理（费马小定理&欧拉定理&扩展欧拉定理）

费马小定理

• 若 $p$为质数，且 $(a,p)=1$，那么则有 $a^{p-1}\equiv1($mod $p)$

应用

• 一般用于求模质数意义下的逆元，
• 定理两边同时除以 $a$有 $a^{p-2}\equiv\frac{1}{a}($mod $p)$，
• 则此时 $a^{p-2}$即为 $a$的逆元。
• 还可以简化模意义下乘方运算的指数，当指数较大时， $a^c\equiv a^{c\mod (p-1)}($mod $p)$。

欧拉定理

• 若 $(a,m)=1$，那么则有 $a^{\phi m}\equiv1($mod $m)$
• 发现当 $m$为质数时， $\phi m=m-1$，则恰好是费马小定理。其实欧拉定理正是费马小定理的扩展。

应用

• 与费马小定理类似，可以用于求乘法逆元和简化模意义下乘方运算的指数。

扩展欧拉定理

• $a^c\equiv \begin{cases} a^{c\mod \phi p} ,&(a,p)=1\\ a^c, & (a,p)\neq1,c<\phi p\\ a^{c\mod\phi p+\phi p},&(a,p)\neq1,c\geq\phi p\\ \end{cases}$　　　 $($mod $p)$
• 顾名思义，这是欧拉定理的扩展，扩充到了模数任意的情况。

应用

• 可以在更大的范围内实现乘方运算降幂。