欧拉定理+费马小定理

一、欧拉定理

互质关系

如果两个整数（或者两个以上的整数）的最大公约数是1，则称他们为互质。也就是说两个整数，除了1以外，没有其它的最大公约数了，这两个整数就叫做互质关系。
比如说7，11他们的最大公约数只有1，所以他们互质；8，10他们的最大公约数为1，2，所以这两数不是互质关系。

欧拉函数

欧拉函数φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目，称为欧拉函数
比如说当n=8时，与8能形成互质关系的数有4个，分别是1，3，5，7，所以φ(8)=4
具体φ(n)函数的计算公式，可以分为以下四种情况：

情况一： 当n=1，φ(1)=1

因为1与任何整数都是互质关系，所以当n=1时，φ(1)=1

情况二：当n为质数，φ(n)=n-1

因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系，所以当n为质数时，φ(n)=n-1 。
比如说n=3时，1，2都跟他是互质关系， n=7时，1，2，3，4，5，6都跟他是互质关系。

情况三：n = p^k (p为质数，k为指数，且大于等于1)，n是质数的k次方，则φ(p^k) = p^k - p^(k-1) = p^k（1 - 1/p）

比如：φ(8) = φ(2^3) = 2^3 - 2^2 = 4
φ(27) = φ(3^3) = 3^3(1 - 1/3) = 18

情况四： n是两个互质的整数之积，如：n = p1 * p1，则 φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

比如：φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24

同余定理

给定一个正整数n，如果两个整数a和b满足a-b能够被n整除，即(a-b)/n得到一个整数，那么就称整数a与b对模n同余，记作a≡b(mod n)。这就是同余定理。
例如：26≡2(mod 12)， 26%12 余2， 2%12余2， 26-2/12 = 0，所以26与2对模12同余

欧拉定理

链接： https://www.jianshu.com/p/9007f61e27a8
來源：简书

二、费马小定理

费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么

是p的倍数，可以表示为

如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成(同余式写法)

同余式

如果两个正整数 a和 b之差能被 n整除，那么我们就说 a和 b对模n同余，记作：

证明

任意取一个质数，比如13。考虑从1到12的一系列整数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，给这些数都乘上一个与13互质的数，比如3，得3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36。对于模13来说，这些数同余于3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10。这些余数实际上就是原来的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，只是顺序不同而已。
把1,2,3,…,12统统乘起来，乘积就是12的阶乘12！。把3,6,9,…,36也统统乘起来，并且提出公因子3，乘积就是3^{12×12！。对于模13来说，这两个乘积都同余于1,2,3,…,12系列，尽管顺序不是一一对应，即3}12×12！≡12！mod 13。两边同时除以12！得312≡1 mod 13。如果用p代替13，用x代替3，就得到费马小定理xp－1≡1 mod p。

应用

• 计算2^100除以13的余数

2^100除以13的余数

• 证明对于任意整数a而言
  
  
  
  恒为2730的倍数。13减1为12，12的正因数有1, 2, 3, 4, 6, 12，分别加1，为2, 3, 4, 5, 7, 13，其中2, 3, 5, 7, 13为质数，
  根据定理，
  
  
  
  为2的倍数、为3的倍数、为5的倍数、为7的倍数、为13的倍数，即235713=2730的倍数。

链接： https://www.jianshu.com/p/e3df7e5d9c38
來源：简书

 

给定a，n求出 $\mathrm{S=((((aa)a)a)a\cdot \cdot \cdot \cdot )a （mod 998244353）共n个a。}$

$\mathrm{输入：}$

$\mathrm{输入仅一行.\; 两个正整数a和n}$

$\mathrm{输出：}$

$\mathrm{输出仅一行.\; 一个正整数}$

样例解释：

$\mathrm{((22)2)2mod 998244353 = 256}$

$\mathrm{数据范围}$

$a，n\; <=\; 1018$

 $思路：$

               $先求出指数，即\; an-1（快速幂求解），并将指数对mod-1（因为mod是质数，那么\phi （mod）=\; mod-1），再用更新后的指数做为新的指数用快速幂求解即可。$

$代码如下：$

#include<cstdio>
typedef long long ll;
ll a,n;
const int M=998244353; ll mi(ll a,ll b,int mod) { ll re=1; a%=mod; while (b) { if (b&1) re=(re*a)%mod; a=(a*a)%mod; b>>=1; } return re; } int main() { scanf ("%lld%lld",&a,&n); ll t=mi(a,n-1,M-1); printf("%lld",mi(a,t,M)); return 0; } 

$\mathrm{课后例题：//poj\; 3696}$

$\mathrm{L，L <=\; 2*109.\; 问多少个8连在一起的数是L的倍数。如果不存在就输出0.}$

$\mathrm{//这里省略输入输出规则，请读者自行注意}$

 

$\mathrm{思路：}$

x个8连在一起可以写成8*（10^x-1）*9，假设d=gcd（L，8）。那么题目可以表达为：L | 8*（10^x-1）*9 ， 接下来我们做一些简单的式子变形：

L | 8*（10^x-1）/9  ←→  L*9 | 8*（10^x-1） ←→  9L/d | （10^x-1） ←→  10^x ≡ 1 （mod 9L/d）

引理：对于任意互质的正整数a，n，满足：a^x≡1（mod n）最小的整数值 X₀ 是φ（n）的约数。

$\mathrm{证明如下：}$

（反证法）假设X₀不是φ（n）的约数，则φ（n）可以表示为：qX₀ + r（0 <= r < X₀)。题设有：a^X₀≡1（mod n），那么，a^qX₀≡1（mod n）且正整数a,n互质，所以有欧拉定理：

a^φ(n)≡1(mod n)，即a^qX₀ * a^r≡1(mod n)，继而得出：a^r≡1(mod n)，此时r<X₀，这与X₀是最小的整数值矛盾，所以假设不成立。得证。

φ（9L/d）并将其约数带入10^x ≡ 1 （mod 9L/d）验证是否成立即可。求欧拉函数和快速幂，时间复杂度为：O（√（n） * log₂ n）。代码如下：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll; ll n,mod; int Case; ll gcd(ll a,ll b) { return a%b==0 ? b : gcd(b,a%b); } ll Er(ll x) { ll re=x; for (ll i=2;i*i<=x;i++) { if (x%i==0) { re=re/i*(i-1); while (x%i==0) x/=i; } } if (x>1) re=re/x*(x-1); return re; } ll mul(ll a,ll b,ll p) { ll re=0; while (b) { if (b&1) re=(re+a)%p; a=2*a%p; b>>=1; } return re; } ll ksm(ll a,ll b,ll p) { ll re=1; a%=p; while (b) { if (b&1) re=mul(re,a,p); a=mul(a,a,p); b>>=1; } return re; } int main() { while (scanf ("%lld",&n)) { if (n==0) return 0; Case++; ll d=gcd(n,8); ll phi=Er(9*n/d); mod=9*n/d; ll flag=9223372036854775806; for (ll i=1;i*i<=phi;i++) { if (phi%i==0) { if (ksm(10,i,mod)==1) flag=min(flag,i); if (ksm(10,phi/i,mod)==1) flag=min(flag,phi/i); } } flag==9223372036854775806?printf("Case %d: 0\n",Case):printf("Case %d: %lld\n",Case,flag); } }