欧拉-费马小定理定理（证明及推论）

欧拉定理：

    若正整数 a , n 互质，则  a^φ(n)≡1(mod n)   其中 φ(n) 是欧拉函数（1~n) 与 n 互质的数。

证明如下：

    不妨设X₁，X₂ ...... X_φn是1~n与n互质的数。

　　首先我们先来考虑一些数：aX₁，aX₂ ...... aX_φn

　　这些数有如下两个性质：

　（1）任意两个数模n余数一定不同：（反证）若存在aX1≡aX₂（mod n），则 n |（ aX₁ - aX₂ ），而a，n互质且（X₁ - X₂）< n，所以n不可能整除（ aX₁ - aX₂ ），也就是说

不存在aX1≡aX₂（mod n）。归纳法：对于任意的与n互质的X_i均成立。故得证。

　　那么因为有 φn 个这样的数，X_i mod n（i=1~φn）所以就有 φn 个不同的余数，并且都是模数自然是（0~n-1）。

　（2）对于任意的aX_i（mod n）都与n互质。这不难想，因为a与n互质这是欧拉函数的条件，X_i是（1~n）与n互质的数的集合中的元素。所以如果a*X_i做为分子，n做为分母，那么

他们构成的显然就是一个最简分数，也就是aX_i和n互质。接下来就可以用欧几里得算法：因为：gcd（aX_i，n）==1所以：gcd（aX_i，n）== gcd（n，aX_i%n）== 1

 

　　这样，我们把上面两个性质结合一下来说，aX₁（mod n），aX₂（mod n） ...... aX_φn（mod n）构成了一个集合（性质1证明了所有元素的互异性），并且这些数是1~n与n互

质的所有数构成的集合（性质1已说明）。这样，我们巧妙的发现了，集合{ aX₁（mod n），aX₂（mod n） ...... aX_φn（mod n）}经过一定的排序后和集合{ X₁，X₂ ...... X_φn }

完全一一对应。那么：aX₁（mod n）* aX₂（mod n）*  ...... * aX_φn（mod n）= X₁ * X₂ * ...... * X_φn   因此：我们可以写出以下式子：

    aX₁ * aX₂ *  ...... * aX_φn≡ X₁ * X₂ * ...... * X_φn  （mod n），即：（a^φn -1）X₁ * X₂ * ...... * X_φn ≡ 0 （mod n）

　　又因为X₁ * X₂ * ...... * X_φn与n互质，所以， （a^φn -1）| n，那么a^φn≡1（mod n）。欧拉定理得证。

 费马小定理：

　　对于质数p，任意整数a，均满足：a^p≡a（mod p）

　　这个可以用欧拉定理来说明：首先，我们把这个式子做一个简单变换得：a^p-1 * a ≡ a（mod p） 因为a ≡ a（mod p）恒成立，所以a^p-1 mod p == 1时费马小定理才成立，又因为p

是质数，所以φn==n-1,所以根据欧拉定理：若a，n互质则a^p-1 mod p == 1成立