图论最短路径问题

图论最短路径问题

本讲将简要介绍图论中的基本概念，并主要讲解图论中的最短路径问题。根据图的不同，将学习两种不同的算法：迪杰斯特拉Dijkstra算法

图的基本概念

• 两种画图方法

1. 一个画图的网站（推荐使用）
2. MATLAB画图

% 函数graph(s,t)：可在 s 和 t 中的对应节点之间创建边，并生成一个图
G1 = graph(s1, t1);
plot(G1)
% 函数graph(s,t,w)：可在 s 和 t 中的对应节点之间以w的权重创建边，并生成一个图
G2 = graph(s2, t2);
plot(G2, 'linewidth', 2)  % 设置线的宽度
% 下面的命令是在画图后不显示坐标
set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );

以上都是画无向图，要做出有向图，只需要将graph改为digraph就行了。

• 图的邻接矩阵
  • 无向图的权重邻接矩阵
  1. 无向图对应的权重邻接矩阵D是一个对称矩阵
  2. 其主对角线上元素为0
  3. $D_{ij}$表示第$i$个节点到第$j$个节点的权重
  • 有向图的权重邻接矩阵
  1. 有向图对应的权重邻接矩阵D是一般不再是对称矩阵
  2. 其主对角线上元素为0.
  3. $D_{ij}$表示第$i$个节点到第$j$个节点的权重。

迪杰斯特拉算法

• 主要思路 ：每一步都是“最短路径”

1. 指定一个起点D(即从顶点D开始计算)。
2. 引进两个数组记录是否访问&&最短距离
3. 从距离最短的点，把此点标记为访问过且开始更新其临近点的最小路径。
4. 重复3直到所有都访问过

• 缺陷 ：但不能处理负权重

这里可用Bellman‐Ford（贝尔曼‐福特）算法解决
贝尔曼‐福特算法不再将节点区分为是否已访问的状态，利用循环来进行更新权重的，且每循环一次，贝尔曼福特算法都会更新所有的节点的信息。

• MATLAB实现
  [P,d] = shortestpath(G,start,end [,'Method',algorithm] )
  功能：返回图G中start节点到end节点的最短路径
  输入参数：

  • G ‐ 输入图（graph 对象 | digraph 对象）
  • start 起始的节点
  • end 目标的节点
  • [,‘Method’,algorithm]是可选的参数，表示计算最短路径的算法。一般不用手动设置，默认使用的是“auto”。

  输出参数：

  • P – 最短路径经过的节点
  • d – 最短距离

另外两种最短距离

• 返回任意两点的距离矩阵
  d = distances(G [,'Method',algorithm])
• 找给定范围内所有的点
  [nodeIDs,dist] = nearest(G,s,d [,'Method',algorithm])
  返回图形 G 中与节点 s 的距离在 d 之内的所有节点。
  nodeIDs是符合条件的节点
  Dist是这些节点与s的距离