最短路径问题

一、最短路径问题的抽象

在网络中，求两个不同顶点之间的所有路径中，边的权值之和最小的那一条路径

• 这条路径就是两点之间的最短路径（Shortest Path）
• 第一个顶点为源点（Source）
• 最后一个顶点为终点（Destination）

二、问题分类

单源最短路径问题：从某固定源点出发，求其到所有其他顶点的最短路径。

• （有向）无权图
• （有向）有权图

多源最短路径问题：求任意两项顶点间的最短路径。

三、无权图的单源最短路算法

按照递增（非递减）的顺序找出到各个顶点的最短路

一层一层找点

四、有权图的单源最短路算法

按照递增的顺序找出到各个顶点的最短路径（Dijkstra算法）

• 令S={源点S+已经确定了最短路径的顶点vi}
• 对任一未收录的顶点v，定义dist[v]为s到v的最短路进长度，但该路径仅经过s中的顶点。即路径{s->（Vi∈S）->v}的最小长度
• 若路径是按照递增（非递减）的顺序生成的，则
  • 真正的最短路径必须只经过S中的顶点（为什么？）
  • 每次从未收录的顶点中选一个dist最小的收录（贪心）
  • 增加一个v进入s，可能影响另外一个w的dist值！
    • dist[w]  = min{dist[w], dist[v] + <v, w>的权重}

五、多源最短路算法

方法1：直接将单源最短路算法调用|V|遍

• T=O(|V|³+|E|x|V|)　　          对于稀疏图效果好

 方法2：Floyd算法

T=O(|V|3)                             对于稠密图效果好

Floyd算法

• Dk[i][j] = 路径{ i -> { l ≤ k }  -> j }的最小长度
• D0, D1, …, D|V|-1[i][j]即给出了i到j的真正最短距离
• 最初的D-1是什么？
• 当Dk-1已经完成，递推到Dk时：
  • 或者k ￠ 最短路径{ i -> { l ≤ k } -> j }，则Dk = Dk-1
  • 或者k ￠ 最短路径{ i -> { l ≤ k } -> j }，则该路径必定由两段最短路径组成： Dk[i][j]=Dk-1[i][k]+Dk-1[k][j]