【数模】图论最短路径问题

一、图的基本概念

• 图的数学语言描述G(V(G),E(G))。
  • V(vertex)指图的顶点集
  • E(edge)指图的边集。
• 图的分类：根据边是否有方向，分为有向图和无向图。
  • 无向图属于特殊的有向图（一个无向边可看作两个有向边）
  • 边若有权值：有权图

---

二、作图

2.1 在线网站（节点少时使用）

• 在线做图网址
• 界面介绍：

2.2 Matlab作图（节点多时使用）

• △注意：

  • Matlab只能从1开始编号，若强制从0开始，会报错
  • 该函数在2015b之后的版本才支持，如果运行出错请下载新版本Matlab。

• 具体看第八节代码文件code_graph.m

• 制图

  • 无向图：

    % 函数graph(s,t)：可在 s 和 t 中的对应节点之间创建边，并生成一个图
    G1 = graph(s1, t1);
    plot(G1)
    
    % 函数graph(s,t,w)：可在 s 和 t 中的对应节点之间以w的权重创建边，并生成一个图
    G2 = graph(s2, t2);
    plot(G2, 'linewidth', 2) % 设置线的宽度
    
    % 下面的命令是在画图后不显示坐标
    set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );
    

  • 有向图：只需将graph改为digraph即可。

---

三、权重邻接矩阵

1. 无向图的权重邻接矩阵

• 结论：
  • （1）无向图对应的权重邻接矩阵D是一个对称矩阵；
  • （2）其主对角线上元素为0.
  • （3）D_ij表示第i个节点到第j个节点的权重

2. 有向图的权重邻接矩阵

• 结论：
  • （1）有向图对应的权重邻接矩阵D是一般不再是对称矩阵
  • （2）其主对角线上元素为0.
  • （3）D_ij表示第i个节点到第j个节点的权重

---

四、迪杰斯特拉

• 用途：求解最短路径（有向图和无向图均可处理，但实际问题中无向图更常见）
• 缺点：无法处理负权重的图
  • 能处理负权重的算法：贝尔曼-福特算法
  • 贝尔曼-福特算法和dj算法区别：不再将节点区分为是否已访问的状态，因为贝尔曼‐福特模型是利用循环来进行更新权重的，且每循环一次，贝尔曼福特算法都会更新所有的节点的信息。
    • 贝尔曼‐福特算法实际上处理的是具有负权重的有向图。（且该有向图也不能含有负权回路）
    • 缺点：贝尔曼‐福特算法不支持含有负权回路的图。（Floyd弗洛伊德算法也不可以）

4.1 负权回路

• 图中存在绕一圈权值之和为负数的回路
• 含有负权重的无向图都是负权回路，如下图中（可以在2和3之间无限循环）
  
• 不必太担心算法求解不出的问题：因为含有负权重的图特别少见，且一旦出现负权重，也往往是在有向图中。

4.2 Matlab计算最短路径

4.2.1 返回起点到终点的最短距离

• 代码：[P,d] = shortestpath(G,start,end [,'Method',algorithm] )

  • 注意：该函数matlab2015b之后才有

  • 功能：返回图G中start节点到end节点的最短路径

  • 输入参数：

    • ① G ‐ 输入图（graph 对象 | digraph 对象）
    • ② start 起始的节点
    • ③ end 目标的节点
    • ④ [,‘Method’,algorithm]是可选的参数，表示计算最短路径的算法。一般不用手动设置，默认使用的是“auto”, 具体可设置的参数如下图。
      

  • 输出参数：

    • ① P – 最短路径经过的节点
    • ② d – 最短距离

• Matlab演示

  • 具体代码部分见第八节代码文件code.m
    
  • △注意：
    • Matlab中的图节点要从1开始编号，故上图中把0全部改为了9
    • 编号最好是从1开始连续编号，不要随便定义编号

• Matlab返回起点至终点最短路径结果：

4.2.2 Matlab返回任意两点间最短路径

• 代码： d = distances(G [,'Method',algorithm])

4.2.3 找给定范围内所有的点

• 代码：[nodeIDs,dist] = nearest(G,s,d [,'Method',algorithm])
  • 返回图形 G 中与节点 s 的距离在 d 之内的所有节点。
  • nodeIDs是符合条件的节点
  • Dist是这些节点与s的距离
    

---

五、课后论文作业

---

附言

• 参考课程可见 B站清风数模，如上仅作个人学习后笔记整理。