最短路问题总结
朴素Dijkstra算法
假设共有n个点,m条边
时间复杂度 : O(n^2) 适用于稠密图 点数n远小于边数m
存储图方式 : 邻接矩阵g[a][b]=c表示从a到b有一条从a到b权重为c的边
步骤
- 初始化起点距离,设起点为start
d[start]=0;
- 每次找到当前状态下距离起点距离最近的点,设该点编号为t
int t=-1;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(!st[j]&&(t==-1||d[t]>d[j])){
t=j;//遍历找到距离起点最近的点
}
}
- 用该点来更新其他点的距离
for(int j=1;j<=n;j++)
{
d[j]=min(d[j],d[t]+g[t][j]);
}
- 同时该点t的到起点的距离已经被确定(具体证明是基于贪心，可百度)
st[t]=true;//标记一下该点最短距离已被确定
- 设所要求点target到起点的最短距离
return d[target];
初始化
memste(d,0x3f,sizeof g);
memset(g,0x3f,sizeof g);
memset(st,0,sizeof st);
伪代码
int Dijkstra()
{
d[start]=0;//设置起点
for(int i=0;i<n;i++)//遍历n次
{
int t=-1;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(!st[j]&&(t==-1||d[t]>d[j])){
t=j;//遍历找到距离起点最近的点
}
}
for(int j=1;j<=n;j++)
{
d[j]=min(d[j],d[t]+g[t][j]);
}
st[t]=true;
}
if(d[target]==0x3f3f3f3f) return -1;//表示不存在起点到该点的路径,返回-1
return d[target];
}
配合模板题
链接:ACWING-849.
AC代码:
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=510;
//g[a][b]表示从a到b的一条边，其中存的值为该边的权重
int g[N][N],d[N];
bool st[N];
int n,m;
int Dijkstra()
{
memset(d,0x3f,sizeof d);
d[1]=0;//设置源点
for(int i=0;i<n;i++)//遍历n次
{
int t=-1;
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(!st[j]&&(t==-1||d[t]>d[j])){
t=j;//遍历找到距离源点最近的点
}
}
for(int j=1;j<=n;j++)
{
d[j]=min(d[j],d[t]+g[t][j]);
}
st[t]=true;
}
if(d[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
return d[n];
}
int main()
{
cin>>n>>m;
memset(g,0x3f,sizeof g);
while(m--)
{
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
g[a][b]=min(g[a][b],c);
}
cout<<Dijkstra();
return 0;
}
堆优化版Dijkstra算法
假设有n个点,m条边
时间复杂度 : O(mlogn) 适用于稀疏图 即m与n大致相等
存储图方式 : 邻接表,h[a]所表示的链表中的每个节点都有一条从a到该结点的边,对于新插入的点采用头插法插入(原理可百度链式前向星)
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
优化之处
相比于朴素版,用个小根堆存储点,这样就能保证每次取出的都是当前状态距离起点最近的点了。
小根堆可以手写一个堆或者优先队列实现，这里我就用优先队列实现了。
初始化
memset(h, -1, sizeof h);
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
伪代码
int dijkstra()
{
dist[start] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;//PII是pair<int,int>
heap.push({
0, start});
while (heap.size())
{
auto t = heap.top();
heap.pop();
int ver = t.second, distance = t.first;
if (st[ver]) continue;
st[ver] = true;
for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[ver] + w[i])
{
dist[j] = dist[ver] + w[i];
heap.push({
dist[j], j});
}
}
}
if (dist[target] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[target];
}
配合模板题
链接: ACWING-850.
AC代码:
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1e6 + 10;
int n, m;
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
int dist[N];
bool st[N];
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
heap.push({
0, 1});
while (heap.size())
{
auto t = heap.top();
heap.pop();
int ver = t.second, distance = t.first;
if (st[ver]) continue;
st[ver] = true;
for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[ver] + w[i])
{
dist[j] = dist[ver] + w[i];
heap.push({
dist[j], j});
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(h, -1, sizeof h);
while (m -- )
{
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
add(a, b, c);
}
cout << dijkstra() << endl;
return 0;
}
SPFA算法
伪代码:
void spfa(int start)
{
memset(d,0x3f,sizeof d);
queue<int> q;
d[start]=0;
q.push(start);
st[start]=true;//用于标志该点是否已经在队列中
while(q.size())
{
int t=q.front();
q.pop();
st[t]=false;
for(int i=h[t];~i;i=ne[i])
{
int j=e[i];
if(d[j]>d[t]+w[i])
{
d[j]=d[t]+w[i];
if(!st[j])
{
q.push(j);
st[j]=true;
}
}
}
}
}
配合模板题
链接: ACWING-851.
AC代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m;
int h[N],ne[N],e[N],w[N],idx;
int dist[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c)
{
e[idx]=b;
ne[idx]=h[a];
w[idx]=c;
h[a]=idx++;
}
int spfa()
{
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
queue<int>q;
q.push(1);
dist[1]=0;
st[1]=true;
while(q.size())
{
int t=q.front();
q.pop();
st[t]=false;
for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
{
int j=e[i];
if(dist[j]>dist[t]+w[i])
{
dist[j]=dist[t]+w[i];
if(!st[j])
{
q.push(j);
st[j]=true;
}
}
}
}
if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof h);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
add(a,b,c);
}
int t=spfa();
if(t==-1) cout<<"impossible";
else cout<<t;
return 0;
}
Floyd算法
伪代码
void floyd()
{
for(int k=1;k<=n;k++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(d[i][j]>d[i][k]+d[k][j]) d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];
}
配合模板题
链接: ACWING-854.
AC代码:
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=210;
int d[N][N];
int n,m,k;
void floyd()
{
for(int k=1;k<=n;k++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(d[i][j]>d[i][k]+d[k][j]) d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];
}
int main()
{
cin>>n>>m>>k;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(i==j) d[i][j]==0;
else d[i][j]=0x3f3f3f3f;
while(m--)
{
int a,b,w;
cin>>a>>b>>w;
d[a][b]=min(d[a][b],w);
}
floyd();
while(k--)
{
int x,y;
cin>>x>>y;
if(d[x][y]>0x3f3f3f3f/2) cout<<"impossible"<<endl;
else cout<<d[x][y]<<endl;
}
return 0;
}