图论（最短路）总结
关于图论最短路，是联赛常考的考点，需要熟悉掌握，下面总结一下关于最短路的算法。
算法一:弗洛伊德（floyd）算法
这个算法主要是用于求每对顶点（任意两点间的最短路）。是一个非常暴力的算法。
1.原理：
根据图的传递闭包思想：
if(d[i][k]+d[j][k])<d[i][j]) d[i][j]=d[i][k]+d[k][j]
即每次找一个“中转站K”，如果d[i][k]+d[j][k])<d[i][j],则更新d[i][j].即更新i到j之间的距离。
2.初始化条件：
d[i][i]=0；//自己到自己的距离为0；
d[i][j]=边权；//i与j有直接相连的边。
d[i][j]=正无穷；//i与j没有直接相连的边。
3.算法核心：
1 for(int k=1;k<=n;k++) 2 for(int i=1;i<=n;i++) 3 for(int j=1;j<=n;j++){ 4 if(a[i][k]+a[k][j]<a[i][j]){ 5 a[i][j]=a[i][k]+a[k][j]; 6 } 7 }
稳定时间复杂度O(n^3).效率比较低下，一般只在“走投无路”时取得部分分时使用。
4.探究:
可定义path[i][j]记录i到j的最短路径中j的前驱顶点，可用于输出最小路径.
初始化：i到j有边，则path[i][j]=i；path[j][i]=j；
i到j不连通,则path[i][j]=-1；
核心：
1 for(int k=1;k<=n;k++) 2 for(int i=1;i<=n;i++) 3 for(int j=1;j<=n;j++){ 4 if(a[i][k]+a[k][j]<a[i][j]){ 5 a[i][j]=a[i][k]+a[k][j]; 6 path[i][j]=path[k][j]; 7 } 8 }
算法二:迪杰斯特拉(dijkstra)算法
用于求一个顶点到其他顶点的最短路径（单源最短路径）.应用的是贪心的理念，
目标：图中一个顶点到其他顶点的最短路径，不能有负权。————单源，非负。
原理：经严格证明的贪心。
时间复杂度：O(n^2)
[分析] 开始点（源点）：start
步骤：
1.用集合1表示已知点，用集合2表示未求点。则1中最初只有start这个点，集合2中有其他n-1个点。
2.在集合2中找到一个到start距离最近的顶点k，距离=d[k]；
3.把顶点k加到集合1中，同时修改集合2中的剩余顶点j的d[j]是否经过k后变短，如果变短修改d[j]；
if(d[k]+a[k][j]<d[j]) d[j] = d[k]+d[k][j]；
4.重复1，直到集合2为空为止.
伪代码如下：
1 for(int i=1;i<=t;i++) 2 dis[i]=a[st][i]; 3 vis[st]=1;dis[st]=0; 4 for(int i=1;i<t;i++) 5 { 6 int minn=9999999; 7 int k=0; 8 for(int j=1;j<=t;j++) 9 if(!(vis[j])&&(dis[j]<minn)) 10 { 11 minn=dis[j]; 12 k=j; 13 } 14 if(k==0) break ; 15 vis[k]=1; 16 for(int j=1;j<=t;j++) 17 if(!(vis[j])&&(dis[k]+a[k][j]<dis[j])) 18 dis[j]=dis[k]+a[k][j]; 19 }
讨论一：怎样输出路径？
st：起点； t：终点； path[i]：i的前驱顶点； way:从s到t的结点路径
注意：迪杰斯特拉算法不能有负权！
算法三:Bellman——ford算法
我们知道，如果边有负权的话，Dijkstra算法是错误的。
那么，我们如何判断负环呢？
——————————本人手懒，暂停一会儿，后面有空继续编吧。。。。。