三维空间刚体运动4-4：四元数线性插值方法：Spring-1

序：本篇系列文章参照高翔老师《视觉SLAM十四讲从理论到实践》，讲解三维空间刚体运动。博文将原第三讲分为四部分来讲解，其中四元数部分较多较复杂，又分为四部分，总体目录如下：

1. 旋转矩阵和变换矩阵；
2. 旋转向量表示旋转；
3. 欧拉角表示旋转；
4. 四元数包括以下部分：
   4-1. 四元数表示变换；
   4-2. 四元数线性插值方法：LinEuler/LinMat/Lerp/Nlerp/Slerp；
   4-3. 四元数多点插值方法：Squad；
   4-4. 四元数多点二次插值方法：Spring。

1. 总述：多点旋转插值的数学方法

之前提到的插值方法是相对较简单的基于旋转表示的方法。原则上，插值方法应独立于该方法的旋转方式。另外，对于最优插值算法的定义应体现出旋转空间期望的属性。当然，最优曲线也可以在算法上显式的写为旋转表达式。
比如以下两个旋转间的插值：最优插值曲线等同于旋转空间的一条直线，这条最优插值曲线在算法上可以写作欧拉角的表达方式，但是使用四元数形式的Slerp。Slerp的优势是表述更简洁（可参考之前《三维空间刚体运动4-1：四元数表示变换》第1章和第4章所述的旋转空间和单位四元数球体的等价性）。
因此，我们将基于旋转空间讨论插值问题，我们将给出最优插值曲线的基本数学要求，这是为了给出最优插值曲线算法描述，并据此寻找符合条件的插值算法。

2. 插值曲线及其连续性

2.1 插值曲线定义

旋转间的插值定义在特殊正交群$SO(3)$的旋转空间中，关于特殊正交群$SO(3)$请参考《三维空间刚体运动1：旋转矩阵与变换矩阵》第2章的内容。然而，如之前所述，$SO(3)$与$H_1$是拓扑等价的，因此我们选择在单位四元数空间中定义通用的插值方法：
定义：对于给定的$k$个控制点$q_i\in H_1$，并且$I=[t_1,...,t_k]$，插值曲线$\gamma (t):I\propto H_1$，即对于$t_i\in I$，有$\gamma (t_i)\equiv q_i$，同时要求$t_1\le t_2,...,t_{k-1}\le t_k$。

2.2 插值曲线连续性的讨论

通常希望插值曲线是“漂亮”的，这个较模糊的字眼通常意味着曲线在微分几何层面是平滑的。但是，由于存在多个不同的平滑定义故需求并不明确，定义列举如下：
使$\gamma (t)$是某曲线在$C^n(I,R^n)$上的参数表达式，平滑性可被定义为下列方式：
（1）[Madsen, 1991]：如果$\gamma (t)\in C^1$，并且$\forall t\in I:{\gamma }^{{}^{\prime }}(t)\ne 0$，那么曲线$\gamma (t)$是平滑的。
（2）[Schwarz, 1989]：如果$\gamma (t)\in C^2$，那么曲线$\gamma (t)$是平滑的。
（3）[Jakobsen, 1993]：如果$\gamma (t)\in C^{\infty }$，那么曲线$\gamma (t)$是平滑的。
以上不同定义对于“漂亮”的表述并不明朗，我们还需要进一步检查到底需要插值曲线的哪些性质，如下图所示：

上图表示平面中三个控制点间的插值曲线，其中：a)非连续插值曲线；b)连续插值曲线；c)$C^1$连续插值曲线；d)$C^2$连续插值曲线。
很明显，我们希望曲线必须是连续且可微的，不希望在动态曲线上出现洞或断点，因此我们要求插值曲线至少必须是$C^1$。至于是否需要$C^2$甚至$C^{\infty }$还不确定。
由于控制点是对称的（双倍覆盖），因此也希望插值曲线是对称的。平面上展示的曲线明确表示我们至少需要$C^2$而不是$C^1$，然而平面展示的曲线并不是采用$C^2$的充分条件，因此目前采用几阶连续并不明朗，因此，我们将这一决定推迟到下一篇Spring中。
在$\gamma (t)$平滑性的第一条定义中要求${\gamma }^{{}^{\prime }}(t)\ne 0$，这意味着插值函数不能包含奇点。现在看来，这是一个合理的要求。然而，某些情况也有可能对插值曲线的速度提出合理但矛盾的要求。例如，考虑一个钟摆的动画，控制点(它们定义钟摆摆动的角度)将位于旋转空间的直线上。在外部位置（即端点处），钟摆应该没有速度，这与插值函数中的奇点相对应。因此，我们也将这一决定推迟到下一篇Spring中。
关于平滑性的讨论并没有给我们带来太多的启发。上面的定义甚至无法让我们区分LinEuler、Lerp和Slerp，这些曲线都是$C^2$（但在控制点处是$C^0$）。因此，仅仅描述插值曲线应该属于哪一类函数是不够的。

3. 最优插值曲线

3.1 最优插值曲线的引出

对平滑性的考量对插值曲线的定义没有给出充分的需求，我们需要一个客观明确的指标来衡量我们的曲线在旋转空间中的“漂亮”程度。
我们将再次在平面中寻找灵感(见下图)。如前所述，三次曲线通常用于在一系列点之间的插值。三次曲线有很多种，在上一篇4.3中描述的贝塞尔曲线就是一个例子，而最常见的一类曲线是样条曲线。

上图表示平面中的样条插值：a)简单线性插值；b)样条插值曲线。
讨论样条曲线，我们必须像其他严谨的项目处理样条曲线那样，写一点关于造船者的故事。传统上，当造船者想要决定如何塑造一艘船的弯曲部分时，会使用一块有弹性的金属，这块金属被固定在一组铆钉之间。然后，金属部件与铆钉相适应，形成一个优美柔和的曲线。造船者称这个工具为样条。关于样条的知识也请参考上一篇4.3中描述的样条。
从物理上看，上面对样条的描述对应于金属片在铆钉约束条件下，达到最小的内部张力。从数学角度讲，金属件使曲率（curvature）最小。曲率是指一条（平面上的）曲线在特定一点弯曲的程度，它正比于曲线转过的角度，反比于曲线的长度。关于曲率的知识请参考《什么是曲率和曲率半径》。
在平面中，这个曲线可以描述如下：给定控制点$(x_i,y_i)\in {\mathbb{R}}^2$，定义曲线$\gamma (t)\in C^2(I,{\mathbb{R}}^2)$，其中$t$是自然参数（如曲线长度，0-1之间的进度比等），并且使$\gamma (t)$经过控制点，同时最小化表达式${\int }_I{\Vert {\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)\Vert }^{2}dt$，此时曲率的平方最小。
这个简单的公式从微分几何中的一般概念出发，给出了插值曲线的明确定义。因此，我们选择将曲率(或曲率平方)最小的曲线视为最优插值曲线。下面我们将看到，在$H_1$中计算这条曲线并不像在平面上那么简单。

3.2 最优插值曲线在$H_1$的曲率

插值曲线位于四元数空间的超球面$H_1$上，假设$t$为自然参数，那么曲线$\gamma (t)$的曲率通常被定义为$\Vert {\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)\Vert$。
这里解释一下，上文关于曲率的资料中，二阶可导函数的曲率被定义为：$$K(t)=\frac{\Vert {\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)\Vert }{(1+{\gamma }^{{}^{\prime }}(t{)}^2)\frac{3}{2}}\text{\hspace{1em}(3.1)}$$然而在本篇论文中，曲率的分母被省略，论文并没给出解释，博主认为，这里的曲率$\Vert {\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)\Vert$是曲线在切平面上的投影的曲率，并非原曲线，而切平面在投影后已固定，分母可以作为常数处理，因此省略掉分母。另外一种原因，固定${\gamma }^{{}^{\prime }}(t)$可能有助于最小化角加速度，未定，后续补充。
插值曲线Slerp在四元数单位圆上产生大弧线（大弧线概念请参考本系列博文4-2的5.2.2节），$H_1$上的圆弧在切平面上的投影是一条直线，因此，可以预料大弧线的投影是没有曲率的。如果用$\Vert {\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)\Vert$来计算曲率，曲率将不是零，而是1：即单位球的曲率。因此，我们想计算相对于四元数单位球面的曲率，而不是相对于四元数空间。我们称这个曲率为局部曲率。
曲面上曲线的局部曲率的定义是基于微分几何的。点的局部曲率定义如下：给定表面上的点，一个坐标系统(地图)被放置在切平面。现在曲线的局部曲率就是投影到切平面上的曲线的曲率。这也叫做正切曲率。
在微分几何中，大弧线(直线)称为测地线。测地线投影到切面上，就成了一条直线。因此，正如预期的那样，我们看到大弧线没有任何局部弯曲。下面开始分析正切曲率。

上图表示曲线$\gamma (t)$的正切向量${\gamma }^{{}^{\prime }}(t)$和正切曲率${\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)$在平面的分量：a)表示位于四元数单位球面上曲线的位置向量$\gamma (t)$（位置矢量是在某一时刻，以坐标原点为起点，以运动质点所在位置为终点的有向线段），它在正切平面上的投影为${\gamma }^{{}^{\prime }}(t)$；b)向量${\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)$可以分解为正切平面的分量${\gamma }_t^{{}^{\prime \prime }}(t)$和平行于位置矢量的分量${\gamma }_o^{{}^{\prime \prime }}(t)$。

由上图可知，如果曲线$\gamma (t)$位于$H_1$的表面，我们可以将${\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)$分解为两个部分${\gamma }_t^{{}^{\prime \prime }}(t)$、${\gamma }_o^{{}^{\prime \prime }}(t)$。期望的曲率部分是${\gamma }_t^{{}^{\prime \prime }}(t)$，因为它表示${\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)$的弯曲程度。因此，曲线$\gamma (t)$的局部曲率$\kappa$可以表示为：$$\kappa (r,t)=\Vert {\gamma }_t^{{}^{\prime \prime }}(t)\Vert =\Vert {\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)-{\gamma }_o^{{}^{\prime \prime }}(t)\Vert$$
由于曲线$\gamma (t)$位于$H_1$的表面，${\gamma }_o^{{}^{\prime \prime }}(t)$平行于$\gamma (t)$，因此${\gamma }_o^{{}^{\prime \prime }}(t)$可以表示为${\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)$投影到$\gamma (t)$，参考《三维空间刚体运动2：旋转向量与罗德里格斯公式》中的投影公式（2.6），因此：$$\begin{array}{rl}{\gamma }_t^{{}^{\prime \prime }}(t)& ={\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)-{\gamma }_o^{{}^{\prime \prime }}(t)\\ & ={\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)-\left({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)\cdot \frac{\gamma (t)}{\Vert \gamma (t)\Vert }\right)\frac{\gamma (t)}{\Vert \gamma (t)\Vert }\\ & ={\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)\cdot \gamma (t))\gamma (t)\end{array}$$由此给出局部曲率$\kappa$的定义：给定$\gamma (t)\in C^2(I,H_1)$，局部曲率$\kappa (\gamma ,t)$被定义为：$$\kappa (\gamma ,t)=\Vert {\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)\cdot \gamma (t))\gamma (t)\Vert \text{\hspace{1em}(3.2)}$$注意，这里$t$不一定是自然参数。因此，上述定义在严格的微分几何意义上是不正确的。在自然参数上参数化的曲线的曲率可写作$\kappa (r,t)=\Vert {\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)\Vert$，而对于光滑曲线，微分几何上的正确表达式为：$$\kappa (\gamma ,t)=\Vert \frac{{\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)}{{\Vert {\gamma }^{{}^{\prime }}(t)\Vert }^2}-\frac{{\gamma }^{{}^{\prime }}(t)({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t)\cdot {\gamma }^{{}^{\prime }}(t))}{{\Vert {\gamma }^{{}^{\prime }}(t)\Vert }^4}\Vert$$然而，我们感兴趣的不仅仅是插值曲线的形状(曲率)。我们还想要一个“漂亮的”角速度函数，即使角加速度最小化的函数(从物理角度来看，对应的是使能量最小化)。在表达式3.2中角加速度是自动包括在内的，因为我们没有重新参数化自然参数。因此我们使用表达式3.2来计算曲率。
下面将分别介绍正切曲率$\kappa (\gamma ,t)$在$H_1$上的连续解析解（第4章）、连续半解析解（第5章）和离散数字化解（篇幅原因，留至下篇）。

4. 正切曲率$\kappa (\gamma ,t)$在$H_1$上的连续解析解

4.1 函数$K(\gamma )$及变分法

我们将H1中的最优插值曲线定义为曲率平方和最小的曲线，但又必须通过控制点的限制，然后定义了H1中曲率的相关表达式。因此，我们得到问题的公式如下：
设控制点$q_1,...,q_N\in H_1$，求$\gamma (t)\in C^2(I,H_1)$，使存在$t_1,...,t_N\in (I)$，满足$\gamma (t_i)=q_i$，并使下列表达式最小化：$$K(\gamma )={\int }_{t_1}^{t_N}{\Vert \kappa (\gamma ,t)\Vert }^{2}dt\text{\hspace{1em}(4.1)}$$这里将求以$\gamma$为变量的曲率问题$\kappa (\gamma ,t)$转换为对曲率平方的积分问题$K(\gamma )$，同样以函数$\gamma$为变量。这里$K(\gamma )$求的是整条曲线各个点的曲率平方之和，当它越小时，转弯就越平滑，所耗费的动能也就越少，符合导航线路的基本要求。
使函数的积分最小化的问题叫做变分演算问题，又称变分法。关于变分法请参考文章《变分法入门介绍》，这里不再赘述。在这里应用变分法只要记住，求极值应用到的必要条件是一阶导数为零。
下面，我们将概述变分学中解决问题的基本方法。$K(\gamma )$达到最小值的一个必要条件是$K^{{}^{\prime }}(\gamma )=0$，对于$\delta \in \mathbb{R}$和$\psi \in C^k(I,H_1)$，我们看一下导数定义：$$\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{K(\gamma +\delta \psi )-K(\gamma )}{\delta }=0\text{\hspace{1em}(4.2)}$$上式中，函数$\delta \psi$称为$\gamma$的变量函数，函数$\gamma +\delta \psi$称为比较函数。满足边界条件的函数$\gamma (t)\in C^2(I,H_1)$称为容许函数。这样，我们就得到了关于$\gamma$的条件函数。

4.2 求解$\gamma$

现在我们将推导出变分问题的解必须满足的要求。因此，我们假定解$\gamma$和比较函数$\gamma +\delta \psi$都是可容许的，并且$K(\gamma )$是最小的。
比较函数$\gamma +\delta \psi$若要被容许，前提必须是：$$\psi (t_1)=\psi (t_2)=...=\psi (t_N)=0\text{\hspace{1em}(4.3)}$$此外,由于$\gamma$和$\gamma +\delta \psi$在单位球面上，我们有$\Vert \gamma \Vert =1$和$\Vert \gamma +\delta \psi \Vert =1$。在下面的推导中，可以忽略表达式成分中包含四元数函数这一情况。这是因为没有使用四元数乘法(只使用标量乘积)。
因此，交换性没有问题。因此我们有：$$\begin{array}{rl}1& ={\Vert \gamma +\delta \psi \Vert }^2\\ & ={\Vert \gamma \Vert }^2+{\delta }^2\Vert \psi \Vert +2\delta (\gamma \cdot \psi )\\ & =1+\delta (\delta \Vert \psi \Vert +2\gamma \cdot \psi )\\ \Rightarrow \gamma \cdot \psi & =-\frac{\delta }{2}{\Vert \psi \Vert }^2\end{array}\text{\hspace{1em}(4.4)}$$我们想用关于"导数"的知识来检验$K(\gamma +\delta \psi )-K(\gamma )$：$$\begin{array}{rl}K(\gamma +\delta \psi )-K(\gamma )& ={\int }_{t_1}^{t_N}{\Vert \kappa (\gamma +\delta \psi ,t)\Vert }^2-\Vert \kappa (\gamma ,t)\Vert dt\\ & ={\int }_{t_1}^{t_N}{\Vert (\gamma +\delta \psi {)}^{{}^{\prime \prime }}-((\gamma +\delta \psi {)}^{{}^{\prime \prime }}\cdot (\gamma +\delta \psi ))(\gamma +\delta \psi )\Vert }^2-{\Vert {\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma \Vert }^{2}dt\\ & ={\int }_{t_1}^{t_N}{\Vert {\gamma }^{{}^{\prime \prime }}+\delta {\psi }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma +\delta {\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \psi +\delta \gamma {\psi }^{{}^{\prime \prime }}+{\delta }^2{\psi }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \psi )(\gamma +\delta \psi )\Vert }^2-{\Vert {\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma \Vert }^{2}dt\\ & ={\int }_{t_1}^{t_N}{\Vert [{\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma ]+\delta [{\psi }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\psi -({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \psi )\gamma -({\psi }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma )]+{\delta }^2[...]+{\delta }^3[...]\Vert }^2\\ & -{\Vert {\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma \Vert }^{2}dt\end{array}$$在上述表达式中，我们根据$\delta$的指数收集了多项式。上述推导的目的是求导数。$K(\gamma +\delta \psi )-K(\gamma )$的展开式中，被${\delta }^2$和${\delta }^3$乘的多项式可以被删除，因为在检查极限时，除以$\delta$后，当$\delta$无限接近零时它们就消失了。因此，上面表达式可被写为：$$\begin{array}{rl}K(\gamma +\delta \psi )-K(\gamma )& ={\int }_{t_1}^{t_N}{\Vert A+\delta B\Vert }^2-{\Vert A\Vert }^{2}dt\\ & ={\int }_{t_1}^{t_N}{\delta }^2{\Vert B\Vert }^2+2\delta A\cdot Bdt\end{array}$$这里$A={\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma ,B={\psi }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\psi -({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \psi )\gamma -({\psi }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma )$。同样省略被${\delta }^2$乘的项，重写表达式为：$$\begin{array}{rl}K(\gamma +\delta \psi )-K(\gamma )& ={\int }_{t_1}^{t_N}2\delta [{\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma ][{\psi }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\psi -({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \psi )\gamma -({\psi }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma )]dt\\ & =2\delta {\int }_{t_1}^{t_N}{\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot {\psi }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \psi )-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \psi )({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )-(\gamma \cdot {\psi }^{{}^{\prime \prime }})({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )(\gamma \cdot {\psi }^{{}^{\prime \prime }})\\ & +({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )(\gamma \cdot \psi )+({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \psi )(\gamma \cdot \gamma )+({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )(\gamma \cdot {\psi }^{{}^{\prime \prime }})(\gamma \cdot \gamma )dt\end{array}$$由于$\gamma$在四元数单位圆$H_1$上，因此$\gamma \cdot \gamma ={\Vert \gamma \Vert }^2=1$，同时将公式（4.4）的结论$\gamma \cdot \psi =-\frac{\delta }{2}{\Vert \psi \Vert }^2$代入上述表达式中，我们得到：$$\begin{array}{rl}K(\gamma +\delta \psi )-K(\gamma )& =2\delta {\int }_{t_1}^{t_N}{\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot {\psi }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \psi +\gamma \cdot {\psi }^{{}^{\prime \prime }})+({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma {)}^2(-\frac{\delta }{2}{\Vert \psi \Vert }^2)dt\\ & =2\delta {\int }_{t_1}^{t_N}{\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot {\psi }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \psi +\gamma \cdot {\psi }^{{}^{\prime \prime }})dt\end{array}$$同样省略被${\delta }^2$乘的项。经过多次改写，我们将$\delta$分离单独作为一个因素。当除以$\delta$时，这个因子将消失在导数的表达式中。因此，我们现在想分离出包含$\psi$的项，使用分部积分和公式（4.3）的结论，表达式被重写如下：$$\begin{array}{rl}K(\gamma +\delta \psi )-K(\gamma )& =2\delta \sum _{i=1}^{N-1}{L}_i\end{array}$$其中$$\begin{array}{rl}{L}_i& ={\int }_{t_i}^{t_{i+1}}{\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot {\psi }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \psi +\gamma \cdot {\psi }^{{}^{\prime \prime }})dt\\ & ={\int }_{t_i}^{t_{i+1}}({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma )\cdot {\psi }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \psi )dt\\ & =[({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma )\cdot {\psi }^{{}^{\prime }}{]}_{t_i}^{t_{i+1}}-{\int }_{t_i}^{t_{i+1}}(\frac{d}{dt}({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma ))\cdot {\psi }^{{}^{\prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \psi )dt\\ & =[({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma )\cdot {\psi }^{{}^{\prime }}{]}_{t_i}^{t_{i+1}}-[(\frac{d}{dt}({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma ))\cdot \psi {]}_{t_i}^{t_{i+1}}\\ & +{\int }_{t_i}^{t_{i+1}}(\frac{d^2}{d{t}^2}({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma ))\cdot \psi -({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \psi )dt\end{array}$$注意，上面的表达式要求它是四阶可微的。现在我们可以使用$\psi$在所有控制点上为零的公式（4.3），可以看到第二项为零，于是得到:$$\begin{array}{rl}{L}_i& =[({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma )\cdot {\psi }^{{}^{\prime }}{]}_{t_i}^{t_{i+1}}+{\int }_{t_i}^{t_{i+1}}(\frac{d^2}{d{t}^2}({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma ))\cdot \psi -({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \psi )dt\end{array}$$再次考虑整个表达式：$$\begin{array}{rl}K(\gamma +\delta \psi )-K(\gamma )& =2\delta \sum _{i=1}^{N-1}{L}_i\\ & =2\delta \sum _{i=1}^{N-1}[({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma )\cdot {\psi }^{{}^{\prime }}{]}_{t_i}^{t_{i+1}}+2\delta \sum _{i=1}^{N-1}{\int }_{t_i}^{t_{i+1}}(\frac{d^2}{d{t}^2}({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma ))\cdot \psi -({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \psi )dt\\ & =2\delta [({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma )\cdot {\psi }^{{}^{\prime }}{]}_{t_1}^{t_N}+2\delta \sum _{i=1}^{N-1}{\int }_{t_i}^{t_{i+1}}(\frac{d^2}{d{t}^2}({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma )-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma ){\gamma }^{{}^{\prime \prime }})\cdot \psi dt\end{array}$$利用控制点的连续性进行最后改写，我们可以求出“导数”：$$\begin{array}{rl}\underset{\delta \to 0}{\lim }\frac{K(\gamma +\delta \psi )-K(\gamma )}{\delta }& =2[({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma )\cdot {\psi }^{{}^{\prime }}{]}_{t_1}^{t_N}\\ & +2\sum _{i=1}^{N-1}{\int }_{t_i}^{t_{i+1}}(\frac{d^2}{d{t}^2}({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma )-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma ){\gamma }^{{}^{\prime \prime }})\cdot \psi dt\end{array}\text{\hspace{1em}(4.5)}$$由于$\gamma \cdot \gamma =\Vert \gamma \Vert =1$，所以有：$$0=(1{)}^{{}^{\prime \prime }}=(\gamma \cdot \gamma {)}^{{}^{\prime \prime }}=2{\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma +2{\gamma }^{{}^{\prime }}\cdot {\gamma }^{{}^{\prime }}\text{\hspace{1em}(4.6)}$$由于在控制点处对任意$\psi$的导数必须为零（方程4.3），结合方程4.6，我们对解有以下要求：$$\begin{array}{rl}\gamma & \in C^4((I),H_1)\\ 0& ={\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t_1)-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t_1)\cdot \gamma (t_1))\gamma (t_1)\\ 0& ={\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t_N)-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}(t_N)\cdot \gamma (t_N))\gamma (t_N)\\ ({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma ){\gamma }^{{}^{\prime \prime }}& =\frac{d^2}{d{t}^2}({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma )\gamma )\\ & ={\gamma }^{{}^{\prime \prime \prime \prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma {)}^{{}^{\prime \prime }}\gamma -2({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma {)}^{{}^{\prime }}{\gamma }^{{}^{\prime }}-({\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\cdot \gamma ){\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\\ \Rightarrow 0& ={\gamma }^{{}^{\prime \prime \prime \prime }}+({\gamma }^{{}^{\prime }}\cdot {\gamma }^{{}^{\prime }}{)}^{{}^{\prime \prime }}\gamma +2({\gamma }^{{}^{\prime }}\cdot {\gamma }^{{}^{\prime }}{)}^{{}^{\prime }}{\gamma }^{{}^{\prime }}+2({\gamma }^{{}^{\prime }}\cdot {\gamma }^{{}^{\prime }}){\gamma }^{{}^{\prime \prime }}\end{array}$$其中第二个和第三个要求等价于端点处的局部曲率为零。
综上所述，现在我们可以找到一组微分方程，当它有解时就能找到理想的最优插值曲线的解析解：
给定控制点$q_1,...,q_N\in H_1$，插值曲线$\gamma \in C^4(I,H_1)$，对于$t_i\in I$有$\gamma (t_i)=q_i$，当$\gamma$满足一下要求时，将使${\int }_{t_1}^{t_N}{\Vert \kappa (h)\Vert }^{2}dt$最小化：

1. $\kappa (t_1)=0$
2. $\kappa (t_N)=0$
3. 对于每个间隔$t_i<t<t_{i+1}$有：$${\gamma }^{{}^{\prime \prime \prime \prime }}+({\gamma }^{{}^{\prime }}\cdot {\gamma }^{{}^{\prime }}{)}^{{}^{\prime \prime }}\gamma +2({\gamma }^{{}^{\prime }}\cdot {\gamma }^{{}^{\prime }}{)}^{{}^{\prime }}{\gamma }^{{}^{\prime }}+2({\gamma }^{{}^{\prime }}\cdot {\gamma }^{{}^{\prime }}){\gamma }^{{}^{\prime \prime }}=0$$

现在“所有”剩下的工作就是用给定的边界值来解决上述四阶微分方程。不幸的是，这在现有的数学知识中是不可能的。这是由Jorgen Sand（哥本哈根大学计算机科学学院系统方程求解专业副教授）和Gerd Grubb（哥本哈根大学数学学院微分方程专业教授）确认的。

5. 正切曲率$\kappa (\gamma ,t)$在$H_1$上的连续半解析解

上边是理想最优插值曲线在不可解微分方程上的严格数学推导。然而，我们可以再次在平面中寻找灵感。对应的微分方程是${\gamma }^{{}^{\prime \prime \prime \prime }}$=0，即曲线的四阶导数在控制点之间必须为零，这对应于三阶曲线(样条)。如果解被约束为三阶曲线，则方程组求解起来会比较容易。

因此，我们可以限制我们希望插值曲线属于哪一类函数。例如，这可以是一种三次样条。在此限制下，优化问题得以解决。

根据曲线类定义的选择，这种寻找解决方案的策略将给出与构建Squad基础相对应的结果。为了使此系列博客保持在可管理的范围内，我们将不再进一步探讨这一思路。

本文总结：本节引入最优插值的求解理念，并给出连续解析解的详细证明过程，限于篇幅，只是对连续半解析解进行介绍，感兴趣的童鞋可以自行求证。下一篇将介绍最优插值曲线的离散数值解Spring的解、证明和图像演示。

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参考文献：

1. 《视觉SLAM十四讲：从理论到实践》，高翔、张涛等著，中国工信出版社
2. Quaternions, Interpolation and Animation
3. 变分法入门介绍
4. 什么是曲率和曲率半径？