该讲主要讲了描述三维空间中刚体运动的几种方式。
旋转矩阵：冗余，自身带有约束（正交矩阵，且行列式为1），在下一步的进一步优化的时候较为困难。
旋转向量：紧凑，但具有奇异性
欧拉角：紧凑，万向锁问题，奇异性。
四元数：无奇异性，四个自由度。
旋转向量—>(罗德里格斯公式)—>旋转矩阵；反之，通过旋转矩阵的迹，以及特征值为1的特征向量求解旋转向量；
其他转换不再记录，反正都是一系列的公式进行套就行了，只需要知道它们之间可以相互转换即可。
Eigen测试:
代码的注释很清楚，只是一个库，用起来很简单。
include <iostream>
using namespace std;
#include <ctime>
// Eigen 部分
#include <Eigen/Core>
// 稠密矩阵的代数运算（逆，特征值等）
#include <Eigen/Dense>
#define MATRIX_SIZE 50
/****************************
* 本程序演示了 Eigen 基本类型的使用
****************************/
int main( int argc, char** argv )
{
// Eigen 中所有向量和矩阵都是Eigen::Matrix，它是一个模板类。它的前三个参数为：数据类型，行，列
// 声明一个2*3的float矩阵
Eigen::Matrix<float, 2, 3> matrix_23;
// 同时，Eigen 通过 typedef 提供了许多内置类型，不过底层仍是Eigen::Matrix
// 例如 Vector3d 实质上是 Eigen::Matrix<double, 3, 1>，即三维向量
Eigen::Vector3d v_3d;
// 这是一样的
Eigen::Matrix<float,3,1> vd_3d;
// Matrix3d 实质上是 Eigen::Matrix<double, 3, 3>
Eigen::Matrix3d matrix_33 = Eigen::Matrix3d::Zero(); //初始化为零
// 如果不确定矩阵大小，可以使用动态大小的矩阵
Eigen::Matrix< double, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic > matrix_dynamic;
// 更简单的
Eigen::MatrixXd matrix_x;
// 这种类型还有很多，我们不一一列举
// 下面是对Eigen阵的操作
// 输入数据（初始化）
matrix_23 << 1, 2, 3, 4, 5, 6;
// 输出
cout << matrix_23 << endl;
// 用()访问矩阵中的元素
for (int i=0; i<2; i++) {
for (int j=0; j<3; j++)
cout<<matrix_23(i,j)<<"\t";
cout<<endl;
}
// 矩阵和向量相乘（实际上仍是矩阵和矩阵）
v_3d << 3, 2, 1;
vd_3d << 4,5,6;
// 但是在Eigen里你不能混合两种不同类型的矩阵，像这样是错的
// Eigen::Matrix<double, 2, 1> result_wrong_type = matrix_23 * v_3d;
// 应该显式转换
Eigen::Matrix<double, 2, 1> result = matrix_23.cast<double>() * v_3d;
cout << result << endl;
Eigen::Matrix<float, 2, 1> result2 = matrix_23 * vd_3d;
cout << result2 << endl;
// 同样你不能搞错矩阵的维度
// 试着取消下面的注释，看看Eigen会报什么错
// Eigen::Matrix<double, 2, 3> result_wrong_dimension = matrix_23.cast<double>() * v_3d;
// 一些矩阵运算
// 四则运算就不演示了，直接用+-*/即可。
matrix_33 = Eigen::Matrix3d::Random(); // 随机数矩阵
cout << matrix_33 << endl << endl;
cout << matrix_33.transpose() << endl; // 转置
cout << matrix_33.sum() << endl; // 各元素和
cout << matrix_33.trace() << endl; // 迹
cout << 10*matrix_33 << endl; // 数乘
cout << matrix_33.inverse() << endl; // 逆
cout << matrix_33.determinant() << endl; // 行列式
// 特征值
// 实对称矩阵可以保证对角化成功
Eigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::Matrix3d> eigen_solver ( matrix_33.transpose()*matrix_33 );
cout << "Eigen values = \n" << eigen_solver.eigenvalues() << endl;
cout << "Eigen vectors = \n" << eigen_solver.eigenvectors() << endl;
// 解方程
// 我们求解 matrix_NN * x = v_Nd 这个方程
// N的大小在前边的宏里定义，它由随机数生成
// 直接求逆自然是最直接的，但是求逆运算量大
Eigen::Matrix< double, MATRIX_SIZE, MATRIX_SIZE > matrix_NN;
matrix_NN = Eigen::MatrixXd::Random( MATRIX_SIZE, MATRIX_SIZE );
Eigen::Matrix< double, MATRIX_SIZE, 1> v_Nd;
v_Nd = Eigen::MatrixXd::Random( MATRIX_SIZE,1 );
clock_t time_stt = clock(); // 计时
// 直接求逆
Eigen::Matrix<double,MATRIX_SIZE,1> x = matrix_NN.inverse()*v_Nd;
cout <<"time use in normal inverse is " << 1000* (clock() - time_stt)/(double)CLOCKS_PER_SEC << "ms"<< endl;
// 通常用矩阵分解来求，例如QR分解，速度会快很多
time_stt = clock();
x = matrix_NN.colPivHouseholderQr().solve(v_Nd);
cout <<"time use in Qr decomposition is " <<1000* (clock() - time_stt)/(double)CLOCKS_PER_SEC <<"ms" << endl;
return 0;
}
CMakeLists.txt文件如下：
cmake_minimum_required( VERSION 2.8 )
project( useEigen )
set( CMAKE_BUILD_TYPE "Release" )
set( CMAKE_CXX_FLAGS "-O3" )
# 添加Eigen头文件 ，库的安装位置。
include_directories( "/usr/include/eigen3" )
# in osx and brew install
# include_directories( /usr/local/Cellar/eigen/3.3.3/include/eigen3 )
add_executable( eigenMatrix eigenMatrix.cpp )
利用Eigen几何模块实现几种表达方式：
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
#include <Eigen/Core>
// Eigen 几何模块
#include <Eigen/Geometry>
/****************************
* 本程序演示了 Eigen 几何模块的使用方法
****************************/
int main ( int argc, char** argv )
{
// Eigen/Geometry 模块提供了各种旋转和平移的表示
// 3D 旋转矩阵直接使用 Matrix3d 或 Matrix3f
Eigen::Matrix3d rotation_matrix = Eigen::Matrix3d::Identity();
// 旋转向量使用 AngleAxis, 它底层不直接是Matrix，但运算可以当作矩阵（因为重载了运算符）
Eigen::AngleAxisd rotation_vector ( M_PI/4, Eigen::Vector3d ( 0,0,1 ) ); //角度，旋转轴：沿 Z 轴旋转 45 度
cout .precision(3);
cout<<"rotation matrix =\n"<<rotation_vector.matrix() <<endl; //用matrix()转换成矩阵
// 也可以直接赋值
rotation_matrix = rotation_vector.toRotationMatrix();
// 用 AngleAxis 可以进行坐标变换
Eigen::Vector3d v ( 1,0,0 );
Eigen::Vector3d v_rotated = rotation_vector * v;
cout<<"(1,0,0) after rotation = "<<v_rotated.transpose()<<endl;
// 或者用旋转矩阵
v_rotated = rotation_matrix * v;
cout<<"(1,0,0) after rotation = "<<v_rotated.transpose()<<endl;
// 欧拉角: 可以将旋转矩阵直接转换成欧拉角
Eigen::Vector3d euler_angles = rotation_matrix.eulerAngles ( 2,1,0 ); // ZYX顺序，即roll pitch yaw顺序
cout<<"yaw pitch roll = "<<euler_angles.transpose()<<endl;
// 欧氏变换矩阵使用 Eigen::Isometry
Eigen::Isometry3d T=Eigen::Isometry3d::Identity(); // 虽然称为3d，实质上是4＊4的矩阵
T.rotate ( rotation_vector ); // 按照rotation_vector进行旋转
T.pretranslate ( Eigen::Vector3d ( 1,3,4 ) ); // 把平移向量设成(1,3,4)
cout << "Transform matrix = \n" << T.matrix() <<endl;
// 用变换矩阵进行坐标变换
Eigen::Vector3d v_transformed = T*v; // 相当于R*v+t
cout<<"v tranformed = "<<v_transformed.transpose()<<endl;
// 对于仿射和射影变换，使用 Eigen::Affine3d 和 Eigen::Projective3d 即可，略
// 四元数
// 可以直接把AngleAxis赋值给四元数，反之亦然
Eigen::Quaterniond q = Eigen::Quaterniond ( rotation_vector );
cout<<"quaternion = \n"<<q.coeffs() <<endl; // 请注意coeffs的顺序是(x,y,z,w),w为实部，前三者为虚部
// 也可以把旋转矩阵赋给它
q = Eigen::Quaterniond ( rotation_matrix );
cout<<"quaternion = \n"<<q.coeffs() <<endl;
// 使用四元数旋转一个向量，使用重载的乘法即可
v_rotated = q*v; // 注意数学上是qvq^{-1}
cout<<"(1,0,0) after rotation = "<<v_rotated.transpose()<<endl;
return 0;
}
CMakeLists.txt文件如下：
cmake_minimum_required( VERSION 2.8 )
project( geometry )
# 添加Eigen头文件
include_directories( "/usr/include/eigen3" )
add_executable( eigenGeometry eigenGeometry.cpp )
