欧几里得算法与裴蜀等式

欧几里得算法

欧几里得算法是欧几里得（Euclid）在《几何原本》中提出的计算最大公因子的算法，被认为是最早的算法，也是人类历史上最优美的算法。

在表述算法之前，先给出算法的理论基础：

定理：设a=qb+r，其中a,b,q,r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)

证明：

若d|a且d|b，则有d|a且d|r=a-qb

若d|b且d|r，则有d|b且d|qb+r=a

这表明a与b的公因子集合与b与c的公因子集合相同，最大公因数肯定相同。

算法实现：

 int gcd(int a, int b)
 {
     return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

这个算法也被叫做“辗转相除法”，为什么呢？

你看啊，这个过程先右除以左，然后左除以右，再右除以左，左除以右......，就像一个人辗转反侧，所以辗转相除法就是从算法表现得到的。我们进一步分析，会发现另一个现象。

观察输出的5是怎么得到的？

• 5=85-2*40
• 5=85-2*(210-2*85)=5*85-2*210
• 5=5*(715-3*210)-2*210=5*715-17*210

可以发现，最大公因子5可以由a,b线性表示。

裴蜀等式

定理：对于不全为0的整数a,b和d，方程sa+tb=d存在整数解s和t当且仅当gcd(a,b)|d。方程sa+rt=d称作裴蜀（Bezout）等式或贝祖等式。

证明：

（充分性）通过回代法，可知sa+rt=gcd(a,b)存在整数解s’和t’，若d=k·gcd(a,b)，则ks’,kt’是方程的一组解。

（必要性）若方程存在整数解s,t，则gcd(a,b)|sa+rt=d

参考链接：中国大学mooc  刘铎  离散数学