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同余
基本定理
欧拉定理
若a,m互质，则
\[ a^{\varphi\left ( m \right )}\equiv 1\left ( mod \ m \right ) \]
应用
令
，
，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以
。计算：
，而
。与定理结果相符。
计算
的个位数，实际是求被10除的余数。7和10互素，且
。由欧拉定理知
。所以
。
费马小定理
若p是质数，则对于任意整数a，都有
\[ a^{p}\equiv a\left ( mod \ p \right ) \]
扩展欧拉定理
\[ a^{b}\ mod \ m,若 b>=\varphi\left ( m \right ),则 \]
\[ a^{b} \equiv a^{b\ mod\ \varphi \left ( m \right )+\varphi\left ( m \right )}\left ( mod \ m \right ) \]
扩展欧几里得算法
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