0 笔记说明
来源于【机器学习】【白板推导系列】【合集 1～23】，我在学习时会跟着up主一起在纸上推导，博客内容为对笔记的二次书面整理，根据自身学习需要，我可能会增加必要内容。
注意：本笔记主要是为了方便自己日后复习学习，而且确实是本人亲手一个字一个公式手打，如果遇到复杂公式，由于未学习LaTeX，我会上传手写图片代替（手机相机可能会拍的不太清楚，但是我会尽可能使内容完整可见），因此我将博客标记为【原创】，若您觉得不妥可以私信我，我会根据您的回复判断是否将博客设置为仅自己可见或其他，谢谢！
本博客为（系列十二）的笔记，对应的视频是：【(系列十二) 变分推断1-背景介绍】、【(系列十二) 变分推断2-公式推导】【(系列十二) 变分推断3-再回首】、【(系列十二) 变分推断4-SGVI-1】、【(系列十二) 变分推断5-SGVI-2】。
下面开始即为正文。
1 背景介绍
1.1 频率派
从频率角度研究机器学习的算法，最终会演化为优化问题。下面通过对之前讨论过的线性回归与SVM来举例说明为什么会演化为一个优化问题。
先看线性回归：首先假设数据集D中有N个样本实例，D={(x1, y1), (x2, y2),…,(xN, yN)}，每个样本的xi∈Rp，每个样本的yi∈R，i=1…N。构造两个矩阵X与Y：X=(x1,x2,…,xN)T，X为N*P阶矩阵；Y=(y1,y2,…,yN)T，Y为N*1阶矩阵。描述如下：
再看SVM：
果然演化为一个优化问题了。
1.2 贝叶斯派
从贝叶斯角度研究机器学习的算法，最终会演化为积分问题。
上图右面可不就是积分问题么。
贝叶斯决策就是做预测，预测是这样的：
贝叶斯推断就是求后验概率，分为精确推断与近似推断，其中后者又分为确定性近似推断与随机近似推断。
本博文的主题——变分推断（Variational Inference，VI）属于确定性近似推断。
2 公式推导
设X为观测数据，Z为隐变量和参数，(X,Z)称为完整数据，log p(X)可写为：
则有：log p(x)=ELBO+KL[q(z)||p(z|x)]，设ELBO为L(q(z))，则log p(x)=L(q(z))+KL[q(z)||p(z|x)]，称L(q(z))为变分。
当q(z)→p(z|x)即q(z)越接近于p(z|x)，则KL[q(z)||p(z|x)]越接近于0。对于log p(x)=L(q(z))+KL[q(z)||p(z|x)]，若x固定，则log p(x)固定，即左面固定，现在要做的就是求q(z)，使其接近于p(z|x)，于是：
现在假设数据分为M个组，且各组之间相互独立，则q(z)为：
将ELBO=L(q(z))分为两个公式：
则ELBO=L(q(z))=①-②，假设M个组中，已固定第1个、第2个…第j-1个、第j+1个组…第M个组的q(zi)，其中i=1,2,…,j-1,j+1,…,M，要求解的是第j个组的q(zj)。下面对①、②式分开处理，先是①式：
接下来是②式：
上式是②式的化简结果，先对第一项进行观察：
因此上上一张图片，即②的化简结果可继续化简为：
则ELBO=L(q(z))=①-②为：
3 符号修正
本节对第二节的某些符号进行修正，以免变量名混淆。
X={x(1),x(2),…,x(N)}为N个样本，x(i)为第i个样本，Z={z(1),z(2),…,z(N)}为N个隐数据，z(i)为第i个隐数据。设x为观测变量，z为隐变量，θ为参数，x∈Rp，xi为样本的第i个维度，z∈Rp，zi为隐数据的第i个维度，z的分布为q(z)，则log pθ(X)可写为：
其中log pθ(x(i))为：
4 SGVI
SGVI，即Stochastic Gradient Variational Inference，翻译为随机梯度变分推断。
设隐变量z的分布为q(z)，设该分布的参数为φ，现在记隐变量z的分布为qφ(z)，则【3 符号修正】一节最后一张图片中的ELBO为：
记ELBO为L(φ)，则：
现在求L(φ)关于φ的偏导数，即求L(φ)的梯度▽φL(φ)：
由上图得L(φ)的梯度▽φL(φ)=①+②。先看②式：
即▽φL(φ)=①+②=①，又因为：
再看①式：
即▽φL(φ)=Eqφ(z){▽φ[log qφ(z)]·[log pθ(x(i),z)-log qφ(z)]}。
以下的内容我完全不理解，只是按照up主的内容照搬。
现在进行重参数化：假定z=gφ(ε,x(i))，其中ε～p(ε)，z～qφ(z,x(i))，则有：
对：
则▽φL(φ)为：
设f(φ,z)=log pθ(x(i),z)-log qφ(z)，由求导链式法则：
继续化简▽φL(φ)为：
之后需要使用MCMC方法，待更新。
END