题意：
给你 n 栈灯围成一圈，灯泡有两种状态开或者关 ，每秒灯泡的状态都会发生变化，变化的规则为 ： 如果这栈灯的前一栈灯（第一栈灯的前一栈是第 n 栈灯）是亮着的那么这栈灯的状态机会改变（开变为关，关变为开）。现给出灯的初始状态，求 k （1<= k <= 1e8）秒后所有灯的状态。
思路：
- 我们观察到，每栈灯的状态只由两个位置的的状态得到，其实就是这个位置和上一个位置的状态异或一下。然后不难发现每一次状态改变，只要把递推矩阵的相应两个位置设为 1，其他位置都是 0 就好了，再想一下 两个位置异或 怎么变成 加呢，其实就是 两个位置状态相加再对 2 取模（和异或的效果一样），然后就可以直接快速幂递推（如果是 4 栈灯 ，递推矩阵如下）。
(1,0,0,1)
(1,1,0,1)
(0,1,1,0)
(0,0,1,1)
- 其实矩阵快速幂就是一个初始矩阵的 k 次递推，只要找到一个递推矩阵乘上初始矩阵后使它变成下一个状态，那么我们就可以利用矩阵乘法的结合律，先把递推矩阵的 k次幂算出来 ，最后乘上初始矩阵，就达到了加速的效果，可以学习一下这篇文章矩阵快速幂（原理+模板）。
代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e2 + 7;
const int mod = 2;
ll n, k,m,cnt[31][31];
char s[maxn];
struct Matrix {
ll a[maxn][maxn];
Matrix() {
memset(a, 0, sizeof(a));
}
void init(){
for(int i = 1; i <= n; i ++){
a[i][i] = 1;
}
}
};
Matrix mul (Matrix x,Matrix y){
Matrix res;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
for (int u = 1; u <= n; u++)
res.a[i][j] = (res.a[i][j] + x.a[i][u] * y.a[u][j]) % mod;
return res;
}
Matrix q_pow(Matrix base,ll temp){
Matrix ans;
ans.init();
while(temp > 0){
if(temp & 1) ans = mul(ans , base);
base = mul(base , base);
temp >>= 1;
}
return ans;
}
int main(){
while(scanf("%lld%s",&k,s + 1) != EOF){
n = strlen(s + 1);
Matrix x;
x.a[1][1] = x.a[1][n] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i ++){
//构造递推矩阵
x.a[i][i] = x.a[i][i-1] = 1;
}
Matrix anss = q_pow(x,k);
Matrix y;
for(int i = 1; i <= n; i ++){
//初始矩阵
y.a[i][1] = s[i] - '0';
}
anss = mul(anss , y);
for(int i = 1; i <= n; i ++){
printf ("%d",anss.a[i][1]);
}
printf ("\n");
}
return 0;
}