以下证明摘自网上相关资料，本人为了理解方便作了部分修改：
设偏序集S。S能划分成的最少的全序集的个数为K，S的最大反链的元素个数为M。
1. 先证明K>=M。设反链A={a1,a2,...,aM}。假设K<M，那么由抽屉原理，必然有两个元素ai,aj在同一个全序集中。那么ai,aj可比。与ai,aj不可比矛盾。
2. 再证明K=M。用第二数学归纳法。
设全序集S中有m个元素。
(1)当m=0和m=1时，对于命题结论显然成立。
(2)假设m<n(n∈N+)时命题成立，现在证m=n时，命题也成立。
设x为S中的一个极大元。考虑S'=S-{x}这个偏序集。由于|S'|<n，由归纳假设，S'满足命题。设 S' 能划分成的最小的全序集个数为k，最大反链的元素个数也为k。那么我们设S'被划分成了k个链分别为C1,C2,...,Ck。设所有长度为k的反链分别为A1,A2,...,Ar。（假设有r条长度为k的反链）
那么对于任意一个Ai，Ai的元素必定是k条链上，每条链取一个元素。设为ai1,ai2,...,aik。
那么我们考虑集合B= {b1,b2,...,bk}={ max(ai1), max(ai2), max(ai3), ... , max(aik) }。 这个集合一定也是一条反链。（用反证法很容易证明：假设存在两个元素bi,bj(i<j)可比，不妨设bi<=bj，其中bi和bj分别位于链Ci和Cj上。那么bi所在链的每个aix都与bj可比，与Ci上存在一个aix与bj不可比矛盾。）（加粗的地方之所以是正确的，是因为Ci与Cj上肯定有两个元素属于同一条反链）
（虽然最小链划分的情况很多，可能存在bi和bj可比，但是bi和bj不可比一样可以实现最小链划分，因为如果bi与bj可比的话，那么bi和bj是可以在同一条链当中）
现在考虑加入元素x的集合S。一个显然的事实是，加入一个极大元，不可能让划分的最少链个数更少，但是也不能让链的个数增加2及以上（否则肯定不满足最少链）（这是因为元素x本身也可以组成一条链，所以最小链划分最多只能多一）。也不能让反链的最大长度更小。
分两种情况：
①如果x这个极大元与B中每个元素都不可比。那么考虑B∪{x}，就是一个长度为k+1的反链。那么最少能划分的链的个数至少是k+1。而加入一个元素，链的条数至多增加1。因此，链的最少条数就是k+1。这样，对于这种情况，命题对于m=n时也成立了。
②如果x与B中的某个元素可比，假设x与bi可比，那么显然x>=bi：
考虑集合 D={ai1,ai2,...,air}∪{x}（这里的{ai1,ai2,...,air}指的的是r条长度为k的反链与包含bi的链的交集）。D显然也是一条链。 现在考虑S''=S-D这个集合。由于每个长度为k的链都被我们抽掉了一个元素，所以集合S''不会有长度为k的反链了，而长度为k-1的反链显然是存在的（按照原来的构造）。由归纳假设，S''最少能划分成的链也是k-1。不妨设划分为了C'1，C'2，...,C'k-1。
那么，我们对S就构造出了k条链的情况：C'1，C'2，...,C'k-1,D。
所以反链的长度最大为k了。而去掉x就已经可以构造出长度为k的反链，因此S的最大反链至少是k。因此最大反链就是k。
至此，证明结束。
参考文献：http://aleph.math.louisville.edu/teaching/2009FA-681/notes-091119.pdf