均匀线列阵常规波束形成原理—麦克风阵列系列（四）

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继上篇文章，本篇继续学习，包括内容为：

均匀线列阵常规波束形成原理概述

例3.4 均匀线阵列常规波束图

采用下图所示坐标系统：

图1 均匀线列阵坐标系统

对于该坐标系统，假设由 $M$ 个均匀分布的阵元组成的线列阵，假设阵元间距为 $d$ ，则线列阵总长度为 $L=Md$ 。这里计算线阵列长度时，将两端阵元向外各延伸了 $\frac{d}{2}$ ，该均匀线列阵相当于对原连续阵列进行了空间采样。

各阵元的位置可以表示为：

$p_m=\left[ 0,\left( m-\frac{M+1}{2}d \right),0 \right],m=1,...,M$

运用每个阵元的加权系数表示将其视作连续线阵时的加权函数，即：

$w^*_a(y)=\sum_{m=1}^{M}{w^*_m\delta \left( y-\left( m-\frac{M+1}{2} \right) d \right)}$

其中， $w^*_m$ 是第个阵元的加权系数； $\delta\left( \cdot \right)$ 是 $Kronecker$ 函数。

$Kronecker$ 函数为：

$\delta_{ij}=\left\{ \begin{aligned} &1,\quad i=j \\ & 0, \quad i\ne j \end{aligned} \right.$

在之前的篇章讲述过，假设一个放置在 $z$ 轴的连续线阵的频率-波数响应为：

$Y\left( \omega, k_z\right)=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}w^*_a(z)e^{-ik_zz}dz$

将上述公式替换为 $y$ 轴的一个均匀分布的线阵列，即为：

$\begin{align}\\ Y\left( \omega, k_y\right)&=\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{m=1}^{M}{w^*_m\delta \left(y-\left( m-\frac{M+1}{2} \right) d \right)}e^{-ik_yy}dy\\ \quad &= \sum_{m=1}^{M}{w^*_me^{-i\left(m-\frac{M+1}{2} \right)k_yd}}\\ \quad &= \sum_{m=1}^{M}{w^*_me^{i\left(m-\frac{M+1}{2} \right)kdsin\theta}}\\ \end{align}$

改为波束响应的形式为：

$B\left( \theta \right)=\sum_{m=1}^{M}{w^*_me^{i\left(m-\frac{M+1}{2} \right)kdsin\theta}}$

还是基于此均匀线列阵坐标系统，阵列的流行项链为：

$\bold p(\theta)=\left[ e^{i\frac{1-M}{2}kdsin\theta},..., e^{i\left( m- \frac{M+1}{2}\right)kdsin\theta},...,e^{i\frac{M-1}{2}kdsin\theta}\right]^T$

波束响应可表达为：

$B\left( \theta \right)=\bold w^H\bold p\left( \theta \right)$

对该均匀线列阵进行常规波束形成，假设波束指向角为 $\theta _o$ ，波束加权向量为：

$\bold w_c=\frac{\bold p\left( \theta_o \right)}{M}$

代入上式可计算出波束方向响应为：

$\begin{align} B\left(\theta \right)&=\frac{\bold w^H_c\bold p\left( \theta_o \right)}{M}\\ &=\frac{\bold p^H\left( \theta_o \right)\bold p\left( \theta \right)}{M}\\ &=\frac{sin\left( Mkd\left( sin\theta-sin\theta_o \right)/2 \right)}{Msin\left( kd\left( sin\theta-sin\theta_o \right)/2 \right)} \end{align}$

例3.4 均匀线阵列常规波束图

假设波束观测方向为 $\theta_o=0^\circ$ ，计算常规波束形成获得的波束响应。假设阵元数目为 $M=10$ ，即阵元间隔 $d=\frac{L}{M}=\frac{\lambda}{2}$ 。采用上述计算的波束形成公式计算波束响应。

图2 均匀线阵列常规波束图

另附实现代码如下：

c=340;       %声速
theta_d = 0*pi/180; %入射角度
f=1000;      %频率
space=c/f/2;  %麦克风间距
M=10;         %麦克风数量
theta_angle=0:0.1:360;
theta=theta_angle*pi/180;    
B=sin((M*pi*f*space*(sin(theta)-sin(theta_d)))/c)...
    ./(M*sin((pi*f*space*(sin(theta)-sin(theta_d)))/c));
B_db = 20*log10(B);
limit_dB = -50;
index = B_db < limit_dB;
B_db(index) = limit_dB; 
plot(theta_angle, B_db, 'linewidth', 1.5);
grid on;
title('均匀线阵列常规波束响应');
xlabel('\theta/(\circ)');ylabel('20lg|B(\theta)|/dB');
figure;
GraphicHandle = polar(theta, B_db);
set( GraphicHandle, 'LineWidth', 1.5);

参考书籍：

《优化阵列信号处理》

均匀线列阵常规波束形成原理—麦克风阵列系列（四）

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