均匀线列阵波束响应与阵元间距的关系—麦克风阵列系列（六）

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本篇包括内容为：

例3.7 均匀线列阵波束响应与阵元间距的关系

例3.7均匀线列阵波束响应与阵元间距的关系

依旧延续采用下图所示坐标系统：

图1 均匀线列阵坐标系统

对于该坐标系统，假设由 $M$ 个均匀分布的阵元组成的线列阵，假设阵元间距为 $d$ ，则线列阵总长度为 $L=Md$ 。这里计算线阵列长度时，将两端阵元向外各延伸了 $d/2$ ，该均匀线列阵相当于对原连续阵列进行了空间采样。

因此，考虑一个 $M=10$ 的均匀线列阵，假设阵元间距与波长之比 $d/\lambda$ 从 $0\sim 0.5$ 变化，期望波束观察方向分别为 $\theta_o=0^\circ$ 与 $90^\circ$ ，考察常规波束形成的波束响应。运用下式计算波束响应。

$B\left( \theta \right)=\frac{sin\left( Mkd\left( sin\theta-sin\theta_o \right)/2 \right)}{Msin\left( kd\left( sin\theta-sin\theta_o \right)/2 \right)}$

波束观察方向 $\theta_o=0^\circ$ 与 $90^\circ$ 时得到的波束响应随 $d/\lambda$ 的变化分别显示于图2与图3中。

图 2

从图2可以看出，当 $\theta_o=0^\circ$ 时，得到的波束在 $0^\circ$ 方向形成了主瓣。由于线阵具有对称性，在 $180^\circ$ 方向亦出现主瓣。 $d/\lambda=0$ 时，波束响应为圆，即没有方向性；随着 $d/\lambda$ 从 $0\sim 0.5$ 变化，波束主瓣宽度逐渐减小。

图 3

从图3可以看出，当 $\theta_o=90^\circ$ 时，得到的波束在 $90^\circ$ 方向形成了主瓣。 $d/\lambda=0$ 时，波束响应为圆； $0<d/\lambda<0.5$ 时，只在 $90^\circ$ 方向出现一个主瓣；当 $d/\lambda=0.5$ 时，在 $-90^\circ$ 方向亦出现一个主瓣（栅瓣）。

实现代码如下：

c=340;       %声速
theta_d = 90*pi/180; %入射角度
f=1000;      %频率
lambda = c/f;
space=lambda/2;  %麦克风间距
M=10;         %麦克风数量
theta_angle=0:0.1:360;
theta=theta_angle*pi/180;
z_axis = 0:0.001:0.5;
rslt = zeros(length(z_axis), length(theta_angle));
for i = 1:length(z_axis)
    space = lambda * z_axis(i);
    B=sin((M*pi*f*space*(sin(theta)-sin(theta_d)))/c)...
    ./(M*sin((pi*f*space*(sin(theta)-sin(theta_d)))/c));
    index = isnan(B);
    B(index) = 1;
    B_db=20*log10(abs(B));
    limit_dB = -40;
    index = B_db < limit_dB;
    B_db(index) = limit_dB; 
    rslt(i, :) = -limit_dB+B_db;
end

参考书籍：

《优化阵列信号处理》

均匀线列阵波束响应与阵元间距的关系—麦克风阵列系列（六）

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