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首先力荐鄢社锋老师的书籍《优化阵列信号处理》，对于麦克风阵列信号处理的讲解非常全面，对阵列的基本概念与优化方法讲的很是透彻，而且最重要事情当然是全中文的啦，而且鄢社锋是本领域的顶尖专家，比很多翻译过来的外文书籍要好很多，值得阅读。个人感觉比陈老师的《Microphone Array Signal Processing》要更容易理解、更容易上手很多，因为这本书里面包含了很多的案例用以对比演示。但是很遗憾，我并没有找到鄢老师的相关代码，所以干脆就自己动手，看书的同时顺带实现了几个。

所以，本文是后续系列文章的第一篇，记录案例实现的过程与代码，对于案例的解释主要为原书内容，自己进行了简化，便于后续理解。本文讲述第二章的案例2.2、2.3与2.4，对比试验了常规波束形成与MVDR最优波束形成的波束图、方位扫描图与阵增益，以及自己实现的代码。

例2.2 常规波束图、常规波束扫描方位谱

考虑一个10元标准线列阵，假设一功率为1的单频信号从 $80^\circ$ 方向入射到基阵，不考虑噪声，用如下公式计算数据协方差矩阵：

$\bold R_x=E\left[ \bold x(n) \bold x^H(n) \right]$

以基阵在 $10^\circ$ 方向的响应向量作为导向向量，即 $\bar {\bold {a}}_s=\bold a\left( 80^\circ\right)$ ，采用式

$\bold w_c=\bar {\bold a}_s/M$

计算常规波束加权向量，用式

$p\left( \theta \right)=\bold w^H \bold a\left( \theta \right),\theta\in\Theta$

波束图

计算波束响应。将得到的波束图显示于图 2（a）中。图中可以看见波束主瓣指向 $80^\circ$ 方位。这意味着该波束形成器对 $80^\circ$ 方向到达的信号响应最大。附代码实现，在图片上方。

%% 2(a) 常规波束形成波束图 代码实现部分
clear; close all; clc;
c=340;       %声速
f=1000;      %频率
lambda = c / f;
k = 2*pi*f / c;
space = lambda/2;  %麦克风间距
M = 10;         %麦克风数量
theta_d = 80*pi/180; %入射角度
theta_angle = 0:0.1:180;
theta = theta_angle*pi/180;
Wc = exp(-1i*k*space*[0:M-1]*cos(theta_d)) / M;
B = zeros(size(theta));
%% 计算波束图
for i = 1:length(theta)
    p = exp(1i*k*space*[0:M-1]*cos(theta(i)));
    B(i) = conj(Wc)*p';
end
B_db = 20*log10(B);
limit_dB = -50;
index = B_db < limit_dB;
B_db(index) = limit_dB; 
figure;
plot(theta_angle, B_db, 'linewidth', 1.5);
grid on;xlabel('方位（^o）'); ylabel('20lg(B)/dB');
title('波束图');

2(a) 常规波束形成波束图

波束扫描方位谱

进行波束扫描，即让 $\theta$ 在 $\left[ -90^\circ,90^\circ \right]$ 内变化，取导向向量为 $\bar {\bold {a}}_s=\bold a\left( \theta\right)$ 。用下式 $P\left( \theta \right)=\bold w^H\left( \theta \right)\bold R_x\bold w\left( \theta \right),\theta\in \Theta$

计算出波束扫描方位谱，显示于图 2（b）中。从图中可以看出，在 $80^\circ$ 位存在一个主峰值，该峰值表示在该方位存在一个信号。峰值大小为 0dB，表示该方位波束输出功率为1，即该方向到达信号功率估计值为1。同时注意到，虽然只有 $80^\circ$ 方向存在信号，其他方位没有信号，但从方位谱上观察，其他方位的波束输出功率并不为0，好像是出现了“能量泄漏”。这是由于波束旁瓣引起的，对于远离信号方向的波束，由于常规波束的旁瓣比较高，即使信号位于这些波束的旁瓣，旁瓣对该信号有一定的抑制，但是波束输出并不为0，因此表现为在方位谱上非信号方向存在输出功率。可以预见，由于常规波束较高的旁瓣，可能会因为强信号的“能量泄漏”而淹没了其他方位的弱信号，这一点在后文的仿真中将会看到。

比较图2（a）与图2（b）发现，指向信号方向的常规波束图与常规波束扫描方位谱曲线完全相同。这是在仅存在单位功率平面波信号时常规波束形成特有的现象，其他波束形成方法不存在此现象。假设基阵接收到功率为 0dB的空间白噪声，信号功率增加到 30dB，即输入信噪比 $SNR_{in}=30dB$ 。采用常规波束扫描得到的方位谱如图 2（c）所示，图中指示在 $80^\circ$ 方向方位谱大约为 30dB，表示该方位信号功率估计值约为 30dB。代码实现参考 2（b），不再赘述。

%% 2(b) 常规波束扫描方位谱，代码实现部分
p = exp(1i*k*space*[0:M-1]*cos(theta_d));
Rx = (p')*conj(p);
B = zeros(size(theta));
for i = 1:length(theta)
    Wcc = exp(-1i*k*space*[0:M-1]*cos(theta(i))) / M;
    B(i) = conj(Wcc)*Rx*Wcc';
end
B_db = 10*log10(B);
limit_dB = -50;
index = B_db < limit_dB;
B_db(index) = limit_dB; 
figure;
plot(theta_angle, B_db, 'linewidth', 1.5);
grid on;
xlabel('方位（^o）'); ylabel('10lg(P)/dB');
title('波束扫描方位谱');

2(b) 常规波束扫描方位谱

2(c) 常规波束扫描方位图

波束阵增益

应用公式： $G_c=\frac{\left| \bar{\bold a} ^H_s \bold a_s \right|^2}{\bar{\bold a} ^H_s \bold \rho _n\bold a_s}$

计算扫描到各方位时波束阵增益，显示于图 2（d）中。图中可见，该曲线形状与图2（a）中波束形状相同，但高出10dB ，即为最高阵增益。从该图可以知，当波束对准信号方向时，波束形成器的阵增益最大；波束观察方位与信号方位存在偏差时，波束阵增益减小。只要方位偏差不太大（在半功率束宽以内），阵增益比最大值下降得并不多。

%% 2(d) 常规波束阵增益 代码实现部分
p_ = exp(1i*k*space*[0:M-1]*cos(theta_d));
B = zeros(size(theta));
for i = 1:length(theta)
    p = exp(1i*k*space*[0:M-1]*cos(theta(i)));
    B(i) = (conj(p_) * p').^2 / (conj(p_)*p_');
end
B_db = 10*log10(B);
limit_dB = -50;
index = B_db < limit_dB;
B_db(index) = limit_dB; 
figure;
plot(theta_angle, B_db, 'linewidth', 1.5);
grid on;
xlabel('方位（^o）'); ylabel('10lg(G)/dB');
title('不同方向波束阵增益');

2(d) 常规波束阵增益

例2.3 MVDR波束形成

考虑一个10元标准线列阵，假设基阵接收噪声是功率为0dB 高斯白噪声，即 $\bold R_n=\bold I$ 。一信噪比为 $SNR=30dB$ 的单频信号从 $\theta_0=80^ \circ$ 方向入射到基阵，用下式计算数据协方差矩阵 $\bold R_x=E\left[ \bold x(n) \bold x^H(n) \right]$ 。

MVDR波束形成器波束图

采用下式

$\bold w_{MVDR}=\frac{\bold R_x^{-1} \bar{\bold a}_s}{\bar{\bold a}_s^H\bold R_x^{-1} \bar{\bold a}_s}$

设计MVDR 波束形成器加权向量。图 3（a）显示了观察方向分别为 $\theta_s=80^\circ$ 与 $\theta_s=100^\circ$ 的两个波束图。对于 $80^\circ$ 方向波束形成器，它相当于 $\beta=0$ 的情况， $100^\circ$ 方向平面波被视作干扰；对于 $100^\circ$ 方向波束， $100^\circ$ 方向平面波为期望信号，对应于 $\beta=1$ 的情况。

对于 $80^\circ$ 方向的波束图，它在 $80^\circ$ 方向的响应为 $1(0dB)$ 。由于MVDR波束形成器的特性，为了使波束输出功率最小，该波束在 $100^\circ$ 方向形成零点以最大限度抑制来自该方向的干扰。对于 $100^\circ$ 方向的波束图，假想导向向量与真实基阵响应向量相等，又由于 $\bold R_n=\bold I$ ，该MVDR波束形成器蜕化为常规波束形成器，所以该波束图与图 2（a）中的常规波束图相同。

%% 3(a) MVDR波束形成器波束图,代码实现
c=340;       %声速
f=1000;      %频率
lambda = c / f;
k = 2*pi*f / c;
space = lambda/2;  %麦克风间距
M = 10;         %麦克风数量
theta_angle = 0:0.1:180;
theta = theta_angle*pi/180;

theta_d1 = 80*pi/180; %入射角度
p_1 = exp(1i*k*space*[0:M-1]*cos(theta_d1))';
Rx = conj(p_1)*p_1'*10^(30/10) + eye(M)*10^(0/10);
Wc = Rx\p_1 / (conj(p_1')*inv(Rx)*p_1);
B = zeros(size(theta));

%% 计算波束图 80度
for i = 1:length(theta)
    p = exp(1i*k*space*[0:M-1]*cos(theta(i)))';
    B(i) = conj(Wc')*p;
end
B_db = 20*log10(B);
limit_dB = -50;
index = B_db < limit_dB;
B_db(index) = limit_dB; 
figure;
plot(theta_angle, B_db, 'linewidth', 1.5);
hold on;

3(a) MVDR波束形成器波束图

MVDR波束扫描方位谱

采用MVDR波束扫描估计方位谱，其中扫描方位间隔为 $0.1^\circ$ ，得到的方位谱显示于图 3（b）中。与图 2（b）相比较可见，MVDR波束扫描得到的方位谱峰值更尖锐。可见，MVDR波束扫描能提供比常规波束扫描较高的方位分辨能力。

%% 3(b) MVDR波束形成器波束扫描方位谱图,代码实现
theta_angle = 0:1:180;
theta = theta_angle*pi/180;

theta_d1 = 80*pi/180; %入射角度1
p_1 = exp(1i*k*space*[0:M-1]*cos(theta_d1))';
Rx = (p_1)*conj(p_1')*10^(30/10);
B = zeros(size(theta));

for i = 1:length(theta)
    p = exp(1i*k*space*[0:M-1]*cos(theta(i)))';
    Wcc = Rx\p / (conj(p')*(Rx\p));
    B(i) = conj(Wcc')*Rx*Wcc;
end
B_db = 10*log10(B);
limit_dB = -10;
index = B_db < limit_dB;
B_db(index) = limit_dB; 
figure;
plot(theta_angle, B_db, 'linewidth', 1.5);
hold on;
plot(80, 30, 'ro',  'linewidth', 1.5);
grid on;
legend('方位谱', '真实信号');
xlabel('方位（^o）'); ylabel('10lg(P)/dB');
title('波束扫描方位谱');

3(b) MVDR波束形成器波束扫描方位谱图

MVDR波束形成器加权向量范数

图 3（v）显示了各扫描方位波束的加权向量范数 $10lg\left( \left| \left| \bold w \right| \right|^2 \right)$ 。从图中可以看出，在波束观察方向距离信号方向较远时（例如本例中与信号间隔 $10^\circ$ 以上）,波束形成器加权向量范数较小，接近于最小值。间隔较近时，随着间隔减小，加权向量范数逐渐增加；而当波束方向恰好等于信号方向时，加权向量范数突然下降到与间隔较远的方位同一大小（因为此时波束形成器蜕化为常规波束形成器）。

%% 3(c) MVDR波束形成器加权向量范数,代码实现
theta_angle = 0:0.1:180;
theta = theta_angle*pi/180;

theta_d1 = 90*pi/180; %入射角度1
p_1 = exp(1i*k*space*[0:M-1]*cos(theta_d1))';
Rx = (p_1)*conj(p_1')*10^(30/10);
B = zeros(size(theta));

for i = 1:length(theta)
    p = exp(1i*k*space*[0:M-1]*cos(theta(i)))';
    Wcc = Rx\p / (conj(p')*(Rx\p));
    B(i) = norm(Wcc)*norm(Wcc);
end
B_db = 10*log10(B);
limit_dB = -50;
index = B_db < limit_dB;
B_db(index) = limit_dB; 
figure;
plot(theta_angle, B_db, 'linewidth', 1.5);
grid on;
xlabel('方位（^o）'); ylabel('10lg(w^2)/dB');
title('加权向量范数');

3(c) MVDR波束形成器加权向量范数

例2.4 两信号源情况下MVDR与常规波束形成器的比较

考虑一个 10元标准线列阵，基阵接收噪声是功率为 0dB高斯白噪声，两个信噪比分别为 15dB与 30dB的单频信号分别从 $80^\circ$ 与 $100^\circ$ 方向入射到基阵。

分别采用常规波束形成与MVDR波束形成扫描，得到的方位谱分别如图4（a）与图4（b）所示。

4(a) 两信号源常规波束形成器

4(b) 两信号源MVDR波束形成器

参考资料

1、《优化阵列信号处理》，鄢社锋

常规与MVDR波束形成对比—麦克风阵列系列（一）

阅读原文还请移步我的知乎专栏：
https://www.zhihu.com/column/c_1287066237843951616

例2.2 常规波束图、常规波束扫描方位谱

波束扫描方位谱

例2.3 MVDR波束形成

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