连续圆环阵均匀加权波束图—麦克风阵列系列（九）

阅读原文还请移步我的知乎专栏：
https://www.zhihu.com/column/c_1287066237843951616

内容包括如下：

1、连续圆环阵波束形成器推导；

2、观测连续圆环阵波束响应、波数半径积 $kr$ 与垂直角 $\phi$ 对波束的影响；

3、一类贝塞尔函数特征。

1、连续圆环阵波束形成器推导

针对连续圆环阵，考虑一个半径为 $r$ 的连续圆环阵，将其置于 $xoy$ 平面，圆环中心为坐标原点，如图1所示。

图 1

连续圆环阵上各接收点 $P_{\vartheta}$ 的阵列流形函数可以表示为：

$p_\vartheta (\bold k)=e^{-i\bold k^TP_\vartheta}=e^{ikrsin\phi cos\left(\vartheta- \theta \right)}$

$P_{\vartheta}$ 点极坐标形式为 $\left( r, \vartheta \right)$ ，直角坐标形式为 $\left[ rcos\vartheta,rsin\vartheta,0 \right]^T$ ，

$\bold k=-k\left[ sin\phi cos\theta,sin\phi sin\theta,cos\phi \right]^T,k=\omega/c$

假设 $P_{\vartheta}$ 点的加权函数取 $w^*_a\left( \vartheta \right)$ ，则波束响应为： $\begin{align}\\ &B(kr,\Omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}^{0}w^*_a\left( \vartheta \right)e^{ikrsin\phi cos(\vartheta - \theta)}d\vartheta\\ &\quad \quad \quad \ \ \ =J_0(krsin\phi) \end{align}$

形式为一类0阶贝塞尔函数，第三小节“一类贝塞尔函数特征”详叙该函数，研究其特征。

2、观测连续圆环阵波束响应、波数半径积 $kr$ 与垂直角 $\phi$ 对波束的影响

考虑一个连续圆环阵，计算采用均匀加权时得到的波束响应。

假设波数半径积为 $kr=2\pi$ ，令 $\theta\in[0^\circ,360^\circ],\phi\in[0^\circ,180^\circ]$ ，利用上述的波束响应计算公式，其幅度采用三维坐标显示于图2中。

图 2 三维波束响应

由图2可见，均匀加权获得的波束响应相对于 $z$ 轴旋转对称，即波束响应只与垂直角 $\phi$ 有关，与水平角 $\theta$ 无关。因此，下面我们只需画出均匀加权波束图相对于垂直角的关系即可。

假设波数半径积范围 $kr\in[0,10]$ ，垂直角取值范围 $\phi\in[0^\circ,180^\circ]$ ,利用波束响应计算公式计算得到的波束响应相对于波数半径积 $kr$ 与垂直角 $\phi$ 的值显示于图3中，其中图3波束响应幅度取对数后的彩色显示，图4为波束响应幅度柱面坐标显示。

图3

图4

为了更好地观测到波束响应，图6中补全了与圆环阵垂直的平面（ $z$ 轴所在平面）上整个 $360^\circ$ 范围内的波束响应。图6四幅图中显示了 $kr=2,4,6,8$ 时对应的波束响应极坐标显示图。

图 6.1

图 6.2

图 6.3

图 6.4

从图3、4、5 与6 可见，均匀加权圆环阵在垂直于圆环的方向获得了主瓣，即波束主瓣方向指向 $\phi=0^\circ$ 与 $\phi=180^\circ$ 方向。 $kr=0$ 时，波束响应为单位圆，即没有方向性，随着频率的升高，波束主瓣逐渐变窄。

3、一类贝塞尔函数特征

一类 $n$ 阶贝塞尔函数定义为：

$J_n(z)=\frac{1}{2\pi i^n}\int_{0}^{2\pi}e^{i(zcos\psi + n\psi)}d\psi,\quad n=0,\pm1,\pm2,...$

$J_{-n}(z)=(-1)^nJ_n(z)$

图7显示了 $0\sim 4$ 阶贝塞尔函数图。从图中可以看出，随着阶数 $n$ 的增大，贝塞尔函数最大幅度值 $max\left| J_n(z) \right|$ 逐渐减小。

图 7

在上述已经推导过，均匀加权连续圆环阵的波束响应时0阶贝塞尔函数，这与连续线阵的波束响应是 $sinc$ 函数相对应，在之前的文章中已经讲过，放置于 $x$ 轴上的长度为的连续线阵在平面上的波束响应为：

$B(kr,\Omega)=sinc\left( k\frac{2}{L}sin\phi \right)$

这表明当线阵长度 $L$ 与圆环阵直径 $2r$ 相等时，两连续阵的波束响应的宗量相等，前者为 $sinc$ 函数，后者为0阶贝塞尔函数。

图8显示了 $J_0(z)$ 与 $sinc(z)$ 两函数相对于宗量 $z$ 的值的对比图。从图中可看出， $z=0$ 时两函数都为1，这表明波束主瓣响应为1，即 $0dB$ 。除了 $z=0$ 点之外0阶贝塞尔函数的峰值与谷值幅度都大于 $sinc$ 函数峰值与谷值幅度，这表明连续圆环阵波束旁瓣高于连续线阵。但是连续圆环阵主瓣宽度窄于连续线阵。

图 8

参考书籍：

《优化阵列信号处理》，鄢社锋