均匀矩形基阵波束图—麦克风阵列系列（八）

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本篇内容包括：1、波束图乘积定理；2、均匀矩形基阵波束图。

如果想看更为详细的讲解，可以直接看鄢社锋老师的书，深入浅出，入门及深造皆可。

波束图乘积定理

之前计算基阵阵列的流行向量时是基于各阵元均为各向同性，即阵元对各方向到达信号的响应相同。而此时我们假设阵元不是各向同性的，而是具有一定的方向性。图1所示的以连续阵作为阵元组成的基阵就属于这种情况。

图1 由非各向同性阵元组成的阵列

假设 $m$ 号阵元（此时的阵元就是一个独立的线阵列）的方向响应为 $p_m\left( \Omega \right)$ ，如果用 $\bold p\left( \Omega \right)$ 表示由 $M$ 个阵元的方向响应组成的向量，

即为： $\bold p\left( \Omega \right)=\left[ p_1\left( \Omega \right),...,p_m\left( \Omega \right),...,p_M\left( \Omega \right)\right]^T$ ，

则基阵的真实阵列流形可以表示为： $\widetilde {\bold p}\left( \Omega \right)=\bar {\bold p}\left( \Omega \right)\circ \bold p\left( \Omega \right)$

其中， $\circ$ 表示 $\widetilde {\bold p}\left( \Omega \right)=\bar {\bold p}\left( \Omega \right)\circ \bold p\left( \Omega \right)$ 积，即点乘； $\bar {\bold p}\left( \Omega \right)$ 是由下式计算的各向同性阵元组成基阵的阵列流形向量：

$\bold p(\bold k)=\left[ e^{-i\bold k^TP_1}, e^{-i\bold k^TP_2}, ...e^{-i\bold k^TP_M}, \right]^T$

其中：

$\bold k\left( \Omega \right)=-k\left[ sin\phi cos\theta,sin\phi sin\theta,cos\phi \right]^T,k=\omega/c$ 对应于方向的波束向量；

$P_m=\left[ P_{xm},P_{ym},P_{zm} \right]^T,m=1,...,M$ 是 $m$ 号阵元位置坐标向量。

如果所有的阵元具有相同的方向响应，即 $p_m\left( \Omega \right)=p\left( \Omega \right),m=1,...,M$ ，则基阵的波束响应可以表示为：

$\widetilde {B}\left( \Omega \right)=\bold w^H\widetilde {\bold p}\left( \Omega \right)=\bold w^H \bar {\bold p}\left( \Omega \right)p\left( \Omega \right)=\bar {B}\left(\Omega \right)p\left( \Omega \right)$

从该式可以看出，当组成基阵的各阵元具有方向性，且所有阵元方向性相同时，基阵的波束响应等于对应的各向同性阵元组成基阵的波束响应与阵元方向响应的乘积，即为波束图乘积定理。

均匀矩形基阵波束图

对于下图2所示的 5行 6列 30元矩形基阵，假设阵元间距为 $d_x=d_y=\lambda/2$ 。采用均匀加权观测该均匀矩形基阵波束图。

图 2 矩形阵列

假设该矩形基阵的阵元各向同性，共 $\breve {M}$ 行 $M$ 列 $M\times\breve {M}$ 个阵元，将其布置在 $xoy$ 平面，基阵中心位于坐标原点。则位于 $\left( \breve m,m \right)$ 阵元的接收响应为：

$p_{m \breve m}=e^{-i\bold k^TP_{m \breve m}}=e^{-i\left( k_xx_m+k_yy_{\breve m} \right)}$

其中， $P_{m \breve m}$ 为坐标位置。令 $\left( \breve m,m \right)$ 阵元的加权值为 $w^*_{m \breve m}$ ，可以表示为 $w^*_{m \breve m}=w^*_mw^*_{\breve m}$ 。所以对于该基阵，采用下式计算各方位波束响应：

$B\left(\Omega \right)=B_x\left( \Omega \right)B_y\left( \Omega \right)$

其中， $B_x\left( \Omega \right)=\sum_{m=1}^{M}{w^*_me^{-ik_xx_m}}=\frac{sin\left( MK_xd_x/2 \right)}{Msin\left( K_xd_x/2 \right)}$ ， $B_y\left( \Omega \right)=\sum_{m=1}^{M}{w^*_me^{-ik_yy_m}}=\frac{sin\left( \breve MK_yd_y/2 \right)}{\breve Msin\left( K_yd_y/2 \right)}$

设定垂直方位角为 $0^\circ$ 时，其幅度响应如图3所示，可见波束主瓣方向与矩形平面垂直。

图3 均匀加权矩形基阵波束图

如果需要波束主瓣方向指向其他方向，采用类似与之前介绍的线列阵波束调向的方法即可实现，比如此时将垂直方位角设定为 $20^\circ$ ，波束图如图4所示。

图4 均匀加权矩形基阵波束图

参考书籍：

《优化阵列信号处理》，鄢社锋

均匀矩形基阵波束图—麦克风阵列系列（八）

波束图乘积定理

均匀矩形基阵波束图

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