简述四种干扰观测器（二）————基于非线性观测器的干扰观测器

本节介绍的基于非线性观测器的干扰观测器，这是一种非常简单有效的干扰观测器。

先介绍原理，最后介绍如何简化应用。

假设系统的模型如下， $\tiny T$ 是力矩， $\tiny d$ 是干扰力矩， $\tiny J\left ( \theta \right )$ 和 $\tiny G \left ( \theta \right )$ ，均是非线性函数。

$\tiny J\left ( \theta \right )\ddot{\theta }+G\left ( \theta,\dot{\theta } \right )=T+d$ （1）

构造干扰观测器的方程如下：

$\tiny \dot{\hat{d}}=-L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )\hat{d}+L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )\left ( J\left ( \theta \right ) \ddot{\theta }+G\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )-T\right )$ （2）

假设

$\tiny \dot{d}=0$ （3）

定义干扰观测的误差为：
$\tiny e\left ( t \right )=d-\hat{d}$ （4）

结合式（4）和观测器方程得到：

$\dot{ e}=\dot{d}-\dot{\hat{d}}=L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )\hat{d}-L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )d$ （5）

也就是说，观测器误差由下式决定

$\dot{e}+L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )e=0$ （6）

通过选择，可以证明观测器是全局渐近稳定的

$L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )=diag\left \{ c,c \right \}$ （7）

其中 $c> 0$ ，更具体地说，指数收敛速度可以通过选择C来指定。

$L$ 定义为对角阵， $c$ 为观测器的收敛极点。

定义一个新的辅助变量 $z$ ：

$z=\hat{d}-p\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )$ （8）

其中 $z\in R^{2}$ ，接下来确定待设计的函数向量 $p\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )$ 。

令函数（2）式中的函数 $L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )$ 由下面的非线性方程给出：

$L\left (\theta , \dot{\theta } \right )J\left ( \theta \right )\ddot{\theta }=\begin{bmatrix} \frac{\partial p\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )}{\partial \theta } & \frac{\partial p\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )}{\partial \dot{\theta }} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dot{\theta }\\ \ddot{\theta } \end{bmatrix}$ （9）

结合观测器方程，调用式（8）和（9），得到

$\dot{z}=\dot{\hat{d}}-\frac{\mathrm{d}p\left ( \theta ,\dot{\theta } \right ) }{\mathrm{d} t}$

$=\dot{\hat{d}}-\begin{bmatrix} \frac{\partial p\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )}{\partial \theta } & \frac{\partial p\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )}{\partial \dot{\theta }} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dot{\theta }\\ \ddot{\theta } \end{bmatrix}$

$=-L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )\left ( z+p\left ( \theta ,\dot{\theta } \right ) \right )+L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )\left ( G\left ( \theta ,\dot{\theta } \right ) -T\right )$ （10）

因此，得到NDO

$z=-L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )z+L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )\left ( G\left ( \theta ,\dot{\theta } \right ) -T-p\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )\right )$ （11）

$\hat{d}=z+p\left ( \theta ,\dot{\theta} \right )$ （12）

通过不断计算式（11），可以得出 $z$ 的估计值，因此干扰的估计值可以通过公式（12）来计算出来。公式（11）和（12）即是干扰观测器的方程。

$L\left ( \theta ,\dot{\theta } \right )$ 可设置为对角阵， $p\left ( \theta ,\dot{\theta} \right )$ 由公式（9）给出。

应用举例

总结：
1、这种观测器的最大优势即是简单好用。

2、如果被控对象的参数不准确也没关系，这样估计的干扰就包含参数不准确项了。

3、带有干扰观测器的控制器最好不用积分控制，因为积分也是抗干扰的，二者容易重叠导致控制器超调，可以用P或者PD控制。

4、这种干扰观测器可以应用非线性的被控对象。

5、模板中的观测器带宽L最好是控制器带宽的3~5倍。

6、上篇中基于名义逆模型的干扰观测器很难应用在非线性系统中。

简述四种干扰观测器（二）————基于非线性观测器的干扰观测器

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