八、基于干扰观测器的单机械臂滑模控制

8.1 单机械臂模型

通过引入干扰观测器，可精确地估计被控对象的不确定性和外加干扰，从而降低滑模控制中的增益 $\tiny k_{1}$ ，有效地降低抖振。

不确定单机械臂的动力学方程为

$\small \left ( I+\Delta I \right )\ddot{\theta }+\left ( d+\Delta d \right )\dot{\theta }+\delta _{0}\theta +mglcos\theta =u-f_{c}\left ( \dot{\theta },u\right )$ （8.25）

其中 $\small \theta$ 为系统输出转角， $\small I=\frac{4}{3}ml^{2}$ 为转动惯量， $\small mg$ 为重力， $\small u$ 为控制输入， $\small f_{c}\left ( \dot{\theta },u \right )$ 为未知的非线性摩擦，质心距连杆的转动中心为 $\small l$ ，连杆运动的粘性摩擦为 $\small d$ ， $\small \Delta I$ 和 $\small \Delta d$ 非别为相应参数的不确定值， $\small \delta _{0}$ 为弹性摩擦系数。

将式（8.25）变为

$\small \ddot{\theta }=\frac{1}{I}u-\frac{d}{I}\dot{\theta }-\frac{\Delta I}{I}\ddot{\theta }-\frac{\Delta d}{I}\dot{\theta }-\frac{\delta _{0}}{I}{\theta }-\frac{1}{I}mglcos\theta -\frac{1}{I}f_{c}\left ( \dot{\theta },u \right )$

则不确定单机械臂可采用二阶微分方程来描述：

$\small \ddot{\theta }=-b\dot{\theta }+au-f$ （8.26）

其中 $\small b=\frac{d}{I}> 0$ ， $\small a=\frac{1}{I}> 0$ ， $\small a$ 和 $\small b$ 为已知值， $\small f$ 代表不确定项、重力项和摩擦项的总和，

$\small f=\frac{\Delta I}{I}\ddot{\theta }+\frac{\Delta d}{I}\dot{\theta }+\frac{\delta _{0}}{I}\theta +\frac{1}{I}mglcos\theta +\frac{1}{I}f_{c}\left ( \hat{\theta },u \right )$

8.2 单机械臂模型的滑模控制器设计及分析

滑模面设计为

$\small s=ce+\dot{e},c> 0$ （8.27）

其中 $\small e=r-\theta$ ， $\small r$ 为位置。

针对被控对象式（8.26），设计滑模控制律为

$\small u(t)=\frac{1}{a}\left ( c\dot{e}+\ddot{r}+b\dot{\theta }+\hat{f}+k_{1} sgn\left ( s \right )\right )$ （8.28）

其中 $\small \hat{f}$ 为通过干扰观测器对 $\small f$ 项的估计值， $\small \hat{f}$ 为 $\small f$ 项的估计误差。

切换增益系数 $\small k_{f}$ 设计为

$\small k_{f}> \left | \tilde{f} \right |$ （8.29）

Lyapunov函数为

$\small V_{1}=\frac{1}{2}s^{2}$

由于

$\small \dot{s}=c\dot{e}+\ddot{e}=c\dot{e}+\ddot{r}-\ddot{\theta }=c\dot{e}+\ddot{r}+b\dot{\theta }-au+f$

将控制律式（8.28）代入上式，得：

$\tiny \dot{s}=c\dot{e}+\ddot{r}+b\dot{\theta }-\left ( c\dot{e}+\ddot{r} +b\dot{\theta }+\hat{f}+k_{f}sgn\left ( s \right )\right )+f=-\left ( \hat{f}+k_{1}sgn\left ( s \right ) \right )+f=f-k_{1}sgn\left ( s \right )$

则

$\small \dot{V}_{1}=s\dot{s}=s\tilde{f}-k_{1}\left | s \right |<0$

可见，为了满足 $\small \dot{V}_{1}< 0$ ，需要满足 $\small k_{f}> \left | \tilde{f} \right |$ 。如果对 $\small f$ 项的估计误差 $\small \tilde{f}$ 足够小，则切换增益系数 $\small k_{f}$ 可设计成很小的值，从而有效地降低抖振。

8.3 干扰观测器的设计

为了观测干扰 $\small f$ 项，设计观测器为

$\small \begin{bmatrix} \dot{\hat{f}}\\ \dot{\hat{x}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \hat{f}\\ \hat{x} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}\left ( \ddot{r}+b\dot{\theta } \right )+\begin{bmatrix} 0\\ -a \end{bmatrix}u+\begin{bmatrix} k_{1}\\ k_{2} \end{bmatrix}\left [ \dot{e}-\hat{x} \right ]$ （8.30）

其中 $\small \hat{f}$ 为对干扰 $\small f$ 的估计， $\small \hat{x}$ 为对 $\small \dot{e}$ 的估计， $\small \tilde{x}=\dot{e}-\hat{x}$ ， $\small k_{1}$ 和 $\small k_{2}$ 为通过极点配置的增益。

干扰观测器式（9.30）表示为：

$\small \dot{\hat{f}}=k_{1}\tilde{x}$ （8.31）

$\small \dot{\hat{x}}=\hat{f}-au+k_{2}\tilde{x}+\ddot{r}+b\dot{\theta }$ （8.32）

8.4 仿真实例

假设单机械臂的动态方程为

$\small \ddot{\theta }=-b\dot{\theta }+au-f$ （8.33）

其中 $\small a=5,b=15$ 。

被控对象中，取 $\small f=5+0.15sint$ 。采用控制律为（8.28），取 $\small c=3.0$ ，干扰观测器取式（8.31）和式（8.32），取 $\small k_{1}=1500,k_{2}=200$ 。取 $\small M=1$ ，不采用干扰观测器，为了克服 $\small f$ 项，需要设计 $\small k_{f}=6.0$ ，仿真结果如图和如图所示。取 $\small M=2$ ，采用干扰观测器，取 $\small k_{f}=0.15$ ,仿真结果如图所示。

图9.1 控制输入信号（M=2）

图9.2 位置跟踪及跟踪误差（M=2）

图9.3 干扰及其观测结果（M=2）

仿真程序：

simulink主程序：chap9_5sim.mdl

控制器S函数：chap9_5ctrl.m

function [sys,x0,str,ts]=spacemodel(t,x,u,flag)
switch flag,
case 0,
      [sys, x0,str,ts] = mdlInitializeSizes;
case 3,
      sys = mdlOutputs(t,x,u);
case{2,4,9}
      sys = [];
otherwise
      error(['Unhandled flag = ',num2str(flag)]);
end 

function [sys,x0,str,ts] = mdlInitializeSizes
sizes = simsizes;
sizes.NumOutputs       =1;
sizes.NumInputs        =5;
sizes.DirFeedthrough   =1;
sizes.NumSampleTimes   =1;
sys = simsizes(sizes);
x0 = [];
str = [];
ts = [0 0];

function sys = mdlOutputs(t,x,u)
r = u(1);
dr = cos(t);
ddr = -sin(t);
th = u(2);
dth = u(3);
fp = u(5);

e = r-th;
de = dr - dth;
c = 3;
s = de+c*e;

b = 15;
a = 5;

M = 2;
if M ==1             %  Traditional with SMC 
    Kf = 6;
%     Kf = 0.15;
    ut = 1/a*(c*de+ddr+b*dth+Kf*sign(s));
elseif M ==2         % SMC with observer
    Kf = 0.15;
    ut = 1/a*(c*de+ddr+b*dth+1*fp+Kf*sign(s));
end
sys(1) = ut;

干扰观测器S函数：chap9_5obv.m

function [sys,x0,str,ts]=s_function(t,x,u,flag)
switch flag,
case 0,
      [sys, x0,str,ts] = mdlInitializeSizes;
case 1,
      sys = mdlDerivatives(t,x,u);
case 3,
      sys = mdlOutputs(t,x,u);
case{2,4,9}
      sys = [];
otherwise
      error(['Unhandled flag = ',num2str(flag)]);
end 

function [sys,x0,str,ts] = mdlInitializeSizes
sizes = simsizes;
sizes.NumContStates    =2;
sizes.NumDiscStates    =0;
sizes.NumOutputs       =1;
sizes.NumInputs        =4;
sizes.DirFeedthrough   =0;
sizes.NumSampleTimes   =0;
sys = simsizes(sizes);
x0 = [0;0];
str = [];
ts = [];

function sys = mdlDerivatives(t,x,u)
r = sin(t);
dr = cos(t);
ddr = -sin(t);

ut = u(1);
dth = u(3);
x2 = dr - dth;
K1 = 1500;
K2 = 200;
a =5;b = 15;
sys(1) = K1*(x2-x(2));
sys(2) = x(1)-b*x(2)-a*ut+K2*(x2-x(2))+ddr+b*dth+b*x(2);
function sys = mdlOutputs(t,x,u)


sys(1) = x(1);

被控对象S函数：chap9_5plant.m

function [sys,x0,str,ts] = s_function(t,x,u,flag)
switch flag,
case 0,
      [sys,x0,str,ts] = mdlInitializesSizes;
case 1,
      sys = mdlDerivatives(t,x,u);
case 3,
      sys = mdlOutputs(t,x,u);
case{2,4,9}
      sys = [];
otnerwise
      error(['Unhandled flag = ',num2str(flag)]);
end 

function [sys,x0,str,ts] = mdlInitializeSizes
sizes = simsizes;
sizes.NumContStates    =2;
sizes.NumDiscStates    =0;
sizes.NumOutputs       =3;
sizes.NumInputs        =1;
sizes.DirFeedthrough   =0;
sizes.NumSampleTimes   =0;
sys = simsizes(sizes);
x0 = [0;0];
str = [];
ts = [];

function sys = mdlDerivatives(t,x,u)
ut = u(1);
b = 15;
a = 5;

f = 5+0.15*sin(t);
ddth = -b*x(2)+a*ut-f;

sys(1)=x(2);
sys(2)=ddth;
function sys = mdlOutputs(t,x,u)
f = 5+0.15*sin(t);
sys(1) = x(1);
sys(2) = x(2);
sys(3) = f;

作图程序：chap9_5plot.m

close all;

figure(1);
subplot(211);
plot(t,y(:,1),'r',y(:,2),'b');
xlabel('time(s)');
ylabel('Position tracking');
subplot(212);
plot(t,y(:,1)-y(:,2),'r');
xlabel('time(s)');
ylabel('Position tracking error');

figure(2);
plot(t,ut(:,1),'r');
xlabel('time(s)');
ylabel('Control input');

figure(3);
plot(t,f(:,3),'r',t,f(:,4),'b');
xlabel('time(s)');
ylabel('f and fp');

Simulink仿真图和相应S-Function函数的m文件已经打包上传至资源，代码稍有改动，有需要请下载。

机器人动力学与控制学习笔记（八）————基于干扰观测器的单机械臂滑模控制

八、基于干扰观测器的单机械臂滑模控制

8.1 单机械臂模型

8.2 单机械臂模型的滑模控制器设计及分析

8.3 干扰观测器的设计

8.4 仿真实例

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