1. 问题描述

已知系统状态空间描述，估计其中的加性扰动并进行补偿

对一个控制系统：

$\begin{cases} & \dot{x}=Ax+Bu+W \\ & y=Cx+Du \end{cases}$

这是一个典型的控制系统，A是系统矩阵，B是输入矩阵，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵，W是扰动项。

将扰动视为状态变量，可以得到如下方程：

$\begin{cases} \begin{bmatrix}\dot{x}\\ \dot{W}\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}A & 1\\0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ W\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}B\\ 0\end{bmatrix}u \\ y&=\begin{bmatrix}C& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ W\end{bmatrix}+Du \end{cases}$

得到了一个新的状态空间描述，然后对其作状态估计即可。

2. 举例说明

以系统如下系统为例：

$\begin{cases} & \dot{x}=x+u+W \\ & y=x \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \begin{bmatrix}\dot{x}\\ \dot{W}\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}1 & 1\\0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ W\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}u \\ y&=\begin{bmatrix}1& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ W\end{bmatrix}\end{cases}$

其能观性矩阵为： $U_c = \begin{bmatrix} 1&0\\ 1&1\\ \end{bmatrix}$ ，故系统完全能观测。

因此可以借助状态观测器： $\dot{\hat{x}}=(A-EC)\har{x}+Bu+Ey$

即： $\dot{\hat{x}}=\left (\begin{bmatrix} 1&1\\0&0\end{bmatrix}-E\begin{bmatrix} 1&0\end{bmatrix}\right )\har{x}+\begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}u+Ey$

观测器中的特征值配置问题等价于对偶系统中绩点配置问题。

考虑该A-EC是二阶系统，参考二阶工程最佳参数，取阻尼比为 $\xi=0.707$ ，时间 $T=1e-3$ ，可得特征多项式，并对特征多项式求解得到特征根。（上升时间约4.7T，调节时间取2%约为8.43T，取5%约为4.14T）.

将特征根 $\lambda$ 代入 $det(A-EC-\lambda)=0$ ，即可求得矩阵E的取值。观测器设计完毕。

3. 仿真程序

仿真的时候需要通过matlab计算得出E的取值，然后再通过Simlink 仿真。

3.1 计算矩阵E的取值

A = [1 1; 0 0];
C = [1 0];
syms e1 e2 lambda; E = [e1; e2];
T=1e-3;
eigPloy = det(A-E*C - lambda*eye(2));
lambdaVal = roots([2*T^2, 2*T, 1]);
eigPloy = subs(eigPloy, lambda, lambdaVal);
[e1, e2] = solve(eigPloy, e1, e2);
E = double([e1 e2])';

3.2 Simulink仿真

====================（结束）====================

注1：能观性矩阵

$\begin{aligned} U_o&=\begin{bmatrix}C\\ CA \\ \vdots\\ CA^{n-1}\end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix}\begin{bmatrix}C&0\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}CA&C\end{bmatrix}\\\cdots\\\begin{bmatrix}C&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&1\\0&0\end{bmatrix}^{n-1}\end{bmatrix} \end{aligned}$

注2：能控性矩阵

$\begin{aligned} U_c&=[B, AB, \cdots, A^{n-1}B]\\ &= \begin{bmatrix}\begin{bmatrix}B\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}AB\\0\end{bmatrix},\cdots,\begin{bmatrix}A&1\\0&0\end{bmatrix}^{n-1}\begin{bmatrix}B\\0\end{bmatrix}\end{bmatrix} \end{aligned}$

注3：举例中选用的系统为不稳定系统

参考书目：

《自动控制原理（第2版）》王建辉、顾树生

《现代控制理论（第2版）》张嗣赢、高立群

利用状态观测器估计加性扰动

1. 问题描述

2. 举例说明

3. 仿真程序

3.1 计算矩阵E的取值

3.2 Simulink仿真

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