简述四种干扰观测器（三）————基于扩张状态观测器的干扰观测器

本节以最广泛应用的二阶系统为例介绍通用的线性观测器。非线性的扩张状态观测器将在将在自抗扰控制中介绍。

观测器设计问题，就是重新构造一个系统，利用原系统中可以直接测量到的输出向量和输入向量作为它的输入信号，并使其输出信号 $\hat{x}\left ( t \right )$ 在一定提法下等价于原系统的状态 $x\left ( t \right )$ ，通常 $\hat{x}\left ( t \right )$ 为 $x\left ( t \right )$ 重构状态或估计状态，称这个重新构造的系统为观测器。

对线性控制系统

$\left\{\begin{matrix} \dot{X}=AX+BU\\ Y=CX \end{matrix}\right.$

来说， $X$ 是 $n$ 维状态变量， $U$ 和 $Y$ 分别是 $p$ 维、 $q$ 维向量，通常 $q< n$ 、 $p< n$ 。以对象的输出量 $Y$ 和输入量 $U$ 作为其输入，可构造如下新系统。

$\dot{Z}=AZ-L\left ( CZ-Y \right )+BU=\left ( A-LC \right )Z+LY+BU$

下面具体观察特殊的二阶系统的状态观测器的具体形式，设有二阶线性控制系统

$\left\{\begin{matrix} \dot{x}_{1}=x_{2}\\ \dot{x}_{2}=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+bu\\ y=x_{1} \end{matrix}\right.$

对这个系统

$A=\begin{bmatrix} 0 &1 \\ a_{1}& a_{2} \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 0\\ b \end{bmatrix},C=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix},L=\begin{bmatrix} l^{_{1}}\\ l_{2} \end{bmatrix}$

因此

$LC=\begin{bmatrix} l_{1} &0 \\ l_{2}& 0 \end{bmatrix},AZ-Le_{1}=\begin{bmatrix} z_{2}-l_{1}e_{1}\\ a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}-l_{2}e_{1} \end{bmatrix}$

以上是简述观测器，观测器是现代控制理论中非常关键的部分，是LQR或者MPC等控制策略中的重要组成。

接下来介绍扩张状态观测器。带着两个问题，一是如何扩张状态，二是扩张了什么状态。

以上述的二阶系统为例。

其中，

$A=\begin{bmatrix} 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 0\\ b_{0}\\ 0 \end{bmatrix},E=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix},C=\begin{bmatrix} 1 & 0& 0 \end{bmatrix}$

对应的连续扩张状态观测器（LESO）为

$\left\{\begin{matrix} \dot{z}=Az+Bu+L\left ( y-\hat{y} \right )=Az+Bu+L\left ( y-Cz \right )\\ \hat{y}=Cz \end{matrix}\right.$

其中， $z\rightarrow x$ ， $z$ 为观测器的状态向量， $L$ 为观测器误差反馈增益矩阵，需要设计。由于 $\dot{f}$ 未知且通过校正项可以估计出来，因而上式中略去了 $\dot{f}$ 。重写观测器方程：
$\left\{\begin{matrix} \dot{z}=\left [ A-LC \right ]z+\begin{bmatrix} B,L \end{bmatrix}u_{c}\\ y_{c}=z \end{matrix}\right.$

式中： $u_{c}=\begin{bmatrix} u & y \end{bmatrix}^{T}$ 是组合输入， $y_{c}$ 是输出， $A,B,C$ 的取值见上， $L$ 为需要设计的观测器增益矩阵。

如果将输出 $y$ 设定为位置，则输出 $u$ 是力，或者等效为加速度，而总干扰力 $f$ 也是直接作用在被控对象上，与 $u$ 的合力的二次积分即是 $y$ 。这样的作用力与扰动力分离的思想，是想把被控对象校正成积分串联系统，达到超调和震荡很小的目的。

可见，是将除了输入 $u$ 之外扰动力独立出的一个状态变量。

可将上图的状态空间写成如下形式， $\begin{bmatrix} \beta _{1}& \beta _{2}& \beta _{3} \end{bmatrix}=L$ 。

$\left\{\begin{matrix} e=y-x_{1}\\ \dot{z}_{1}=z_{2}-\beta _{1}e\\ \dot{z}_{2}=z_{3}-\beta _{2}e+bu\\ \dot{z}_{3}=-\beta _{3}e \end{matrix}\right.$

在“总和扰动”的变化范围不大的情况下，用上式进行状态估计的效果也不错。但若要保证一定的估计精度，需要取比较大的增益，即 $\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3}$ 要取得大一些，这就是所谓的“高增益扩张状态观测器”的形式。

线性扩张状态观测器的参数 $\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3}$ 可以通过带宽的概念确定。对一阶、二阶、三阶系统来说，分别将其对应的线性扩张状态观测器的特征方程配置成 $\left ( s+\omega \right )^{2},\left ( s+\omega \right )^{3},\left ( s+\omega \right )^{4}$ ，此时扩张后的系统具有较好地稳定性和较好地过渡过程，因此相应的有

$\left\{\begin{matrix} \beta _{1}=2\omega ,\beta _{2}=\omega ^{2}\\ \beta _{1}=3\omega ,\beta _{2}=3\omega ^{2},\beta _{3}=\omega ^{3}\\ \beta _{1}=4\omega ,\beta _{2}=6\omega ^{2},\beta _{3}=4\omega ^{3},\beta _{4}=\omega ^{4} \end{matrix}\right.$

在一般情况下， $\omega$ 的适应范围很宽，因此很容易调整出合适的 $\omega$ 。

总结：

1、这种观测器更适合接近积分串联系统的控制，比如电机控制、四旋翼控制；

2、要求是干扰力是有界的，可以不连续或者非线性；

3、观测器带宽最好是控制器带宽的3~5倍；

4、参数b要准确一些，一倍以内的误差还可以接受；

5、离散化最优是双线性离散化。

简述四种干扰观测器（三）————基于扩张状态观测器的干扰观测器

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