非线性扰动观测器的基本设计

非线性扰动观测器的基本设计

前言

因为看到论文中有扰动观测器的设计，但只是大概地明白设计的原理，实际上不明白扰动观测器是如何设计出来的。因此在查阅了相关文献和文章后，将学习到的基本的扰动观测器的设计记录如下。

问题描述

考虑如下这个一个系统
$$\begin{array}{rl}\dot{x}& =f(x)+g_1(x)u+g_2(x)d\\ y& =h(x)\end{array}(1)$$
其中，$f(x)、g_1(x)、g2(x)、h(x)$都是已知且光滑的连续函数，$d$是未知扰动，如何设计扰动观测器估计未知扰动$d$

扰动观测器设计

按照之前学习的自适应控制的思想来看，设定扰动估计量$\hat{d}$，扰动误差为$\tilde{d}=\hat{d}-d$

求取误差的动态方程：$\dot{\tilde{d}}=\dot{\hat{d}}-\dot{d}$

在这里我们考虑慢时变的外部扰动，即$\dot{d}=0$，其实此时可以利用自适应控制率来实现对外部扰动的估计了，不过这里是学习基本的扰动观测器。

根据控制理论，如果我们希望$\dot{\tilde{d}}$趋于0，我们可以设计其满足如下的控制率
$$\dot{\tilde{d}}=-l(x)g_2(x)\tilde{d}(2)$$
很显然该控制率从李雅普诺夫稳定性理论来看，$\dot{\tilde{d}}$会收敛到0

将误差的动态方程带入到控制率中
$$\begin{array}{rl}\dot{\tilde{d}}& =\dot{\hat{d}}\\ & =-l(x)g_2(x)\tilde{d}\\ & =-l(x)g_2(x)(\hat{d}-d)\\ & =-l(x)g_2(x)\hat{d}+l(x)(\dot{x}-f(x)-g_1(x)u)\end{array}(3)$$
在公式(3)中我们带入了公式(1)的原系统，用以表示$g_2(x)d$。但是上述公式中$\dot{x}$是无法得到的变量，因此需要对上述公式进行变换，在两边分别减去$l(x)\dot{x}$，得到：
$$\begin{array}{rl}\dot{\hat{d}}-l(x)\dot{x}& =-l(x)g_2(x)\hat{d}+l(x)(-f(x)-g_1(x)u)(4)\end{array}$$
针对公式(4)进行积分
$$\hat{d}-p(x)={\int }_{}^{}-l(x)g_2(x)\hat{d}+l(x)(-f(x)-g_1(x)u)dt(5)$$
其中$p(x)={\int }_{}^{}l(x)\dot{x}dt$，令$z=\hat{d}-p(x)$，并对公式(5)进行求导，得到
$$\begin{array}{rl}\dot{z}& =-l(x)g_2(x)(z+p(x))+l(x)(-f(x)-g_1(x)u)\\ & =-l(x)g_2(x)z+l(x)(-f(x)-g_1(x)u-l(x)g_2(x)p(x))\\ \hat{d}& =z+p(x)\end{array}(6)$$
这就是我们看到论文中的扰动观测器的基本原型了，很多都是从这个原型进行变化的，并且要注意到$l(x)$的选择是有要求的。
$$\begin{gathered} p(x)={\int }_{}^{}l(x)\dot{x}dt \\ \frac{dp(x)}{dt}=l(x)\frac{dx}{dt} \\ l(x)=\frac{\partial p(x)}{\partial x} \end{gathered}$$
因此$l(x)$需要满足$l(x)=\frac{\partial p(x)}{\partial x}$，参考别人的文章，确定$l(x)$和$p(x)$一般有两种方法，1.首先选定$l(x)$，再积分；2.选定$p(x)$，再求导得到$l(x)$

小结

本文针对非线性扰动观测器的设计进行了基本的解释，我学习的还很浅显，遇到具体问题还需要具体分析，进行些许的变形。如果后续学习到新的东西再过来补充更新。

参考资料

1. Do K D . Practical control of underactuated ships[J]. Ocean Engineering, 2010, 37( 13):1111-1119.
2. Chen W H , Yang J , Guo L , et al. Disturbance-Observer-Based Control and Related Methods—An Overview[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2016, 63(2):1083-1095.
3. Chen W H , Ballance D J . A nonlinear disturbance observer for robotic manipulators[J]. Industrial Electronics IEEE Transactions on, 2000, 47(4):932-938.
4. Chen W H . Disturbance observer based control for nonlinear systems[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 2004, 9(4):706-710.
5. 非线性扰动观测器NDOB的推导与实例 - 知乎 (zhihu.com)

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