洛谷 P1025 数的划分 & LOJ #10018. 「一本通 1.3 例 1」数的划分

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愉快的三倍经验题。

简要题意：

给定 $n,k$，求将 $n$ 分为 $k$ 个有序正整数之和 的方案数。

$6 \leq n \leq 200 , 2 \leq k \leq 6$.

算法一

搜索 + 剪枝。

状态设计

首先我们应当考虑，如何设计搜索状态。

对本问题即以下的问题：

• 如何保证和为 $n$?
• 如何保证共 $k$ 个数？
• 如何保证有序？

第一问，我们需要一个 sum，记录当前所选数的和。

第二问，我们需要一个 p，记录当前所选数的个数。

第三问，我们需要一个 ma，记录当前所选数的最大值（其实也即上次选的数）。

那么，每次从 ma - sum 进行一个区间枚举即可。

但是时间复杂度是 指数级 的，不得不说对 $n = 200 , k = 6$ 的数据是可以通过的，因为方案数有限；但是数据一旦加强，后果不堪设想。

剪枝

以样例为例， $n=7,k=3$.

第一个数你会选 $3$ 吗？显然不会，因为后面的数就算都取最小（ $3$） 也是 $3 \times 3 = 9 > 7$ 了。

所以，我们需要时刻保证 ma * (k-p+1)+sum<=n，即包括当前数在内 $k-p+1$ 个数都选最小的 ma，最小的和如果超过 $n$，说明无效。如果 $=n$，计入答案。即 $\geq n$ 的情况都可以去除。这样快了很多！

时间复杂度： $\mathcal{O}(\text{wys})$.

实际得分： $100pts$.

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0; while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

inline void write(int x) {
	if(x<0) {putchar('-');write(-x);return;}
	if(x<10) {putchar(char(x%10+'0'));return;}
	write(x/10);putchar(char(x%10+'0'));
}

int n,k,s=0;

inline void dfs(int sum,int p,int ma) {
//	printf("%d %d %d %d\n",sum,p,ma,s);
	if(p==k) {s+=(n-sum>=ma);return;}             // 最后一个数的选择剪枝
	if(sum>=n) return;                            // 最后一个数还没选的情况下，和超过，剪枝       
	if(ma*(k-p+1)+sum>n) return;
	if(ma*(k-p+1)+sum==n) {s++;return;}           // 刚才说的两个剪枝
	for(int i=ma;i<=n-sum;i++) dfs(sum+i,p+1,i);  // 往下一层走
}

int main() {
	n=read(),k=read();
	dfs(0,1,1);
	write(s);
	return 0;
}

在 $n=200 , k=6$ 的情况这样的剪枝没有什么显著作用，本地测试该剪枝加与不加存在约 $1.5$ 倍的差异。当然通过是肯定能通过的。

于是本人本地测试了 $n = 200 , k = 10$ 的数据。得到的结果：加剪枝，约 $55.4s$；不加剪枝，约 $146.6s$. 可以看到，在大数据的驱使下，剪枝的效率得到了超高的发挥，效率达到了约 $2.65$ 倍！（当然，本人电脑极慢， $\text{CPU}$ 内存分配给 $\text{C++}$ 的还是太少了）

算法二

考虑动态规划。

易知，我们只要反手开一个记忆化，立刻复杂度变成 $\mathcal{O}(nk)$.

代码略，在原搜索基础上修正即可。

致歉

这部分是博客园没有的。由于 $\text{CSDN}$ 最多开 $3$ 个标签，因此原本的 数论 动态规划 搜索 剪枝 被迫去掉了动态规划。