洛谷P1025数的划分题解--zhengjun

题目描述

将整数 $n$分成 $k$份，且每份不能为空，任意两个方案不相同(不考虑顺序)。

例如： $n=7$， $k=3$，下面三种分法被认为是相同的。

$1,1,5;$
$1,5,1;$
$5,1,1.$

问有多少种不同的分法。

输入格式

$n,k$ ( $6<n \le 200$， $2 \le k \le 6$)

输出格式

$1$个整数，即不同的分法。

输入输出样例

输入 #1 复制

7 3

输出 #1 复制

4

说明/提示

四种分法为：
$1,1,5$;
$1,2,4$;
$1,3,3$;
$2,2,3$.

思路

这道题呢，我个人认为有两种做法。
一种是暴搜，另一种正解是动态规划。

暴搜

搜索我就不多说了，看代码吧

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int ans;
inline void dfs(register int sum,register int t,register int l){//现在拼成了sum,用了t个数,l是前面用的最大的数
	if(sum>n)
	    return;
	if(sum==n){
		if(m==t)
		    ans++;
		return;
	}
	register int i;
	for(i=l;i<=n-sum-m+t+1;i++)
	    dfs(sum+i,t+1,i);
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	dfs(0,0,1);
	cout<<ans;
	return 0;
}

可是这样会 $T$ 掉 $60\%$
下面是优化过的 $dfs$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int ans;
void dfs(int l,int sum,int t)
{
	if(t>m)
	    return;
    if(t==m)
    {
        if(sum==n)
		    ans++;
        return;
    }
    for(int i=l;sum+i*(m-t)<=n;i++)
        dfs(i,sum+i,t+1);
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    dfs(1,0,0);
    cout<<ans;
    return 0;
}

其实没差多少，就是做了一些剪枝而已，也是能过的。

动态规划

用 $f_{i,j}$ 表示 $i$分成 $j$ 部分的方案数
那么，所有

$f_{i,j}=0 (i<j)$

$f_{i,j}=1 (i=j)$

然后，当 $i>j$ 时
一种是 $1,···$
$\ \ \ \ \ \ \ \ f_{i-1,j-1}$
另一种是没有 $1$ 在里面(就是把每个数都减掉 $1$ 之后的方案数，总共就减了 $j$ )
$\ \ \ \ \ \ \ \ f_{i-j,j}$
所以，转移方程就是:

1. $f_{i,j}=f_{i-1,j-1} (i\le j)$
2. $f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+f_{i-j,j} (i>j)$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int f[201][7];
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    f[i][1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	    for(int j=2;j<=m;j++)
	        if(i>j)
	            f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
	        else
	            f[i][j]=f[i-1][j-1];
	cout<<f[n][m];
	return 0;
}

谢谢–zhengjun