数学建模（2）Topsis

数学建模（2）Topsis

逼近理想解、优劣解距离法

指标正向化

所有指标都要改成极大型指标

极小型指标：
$max-x$

中间型指标： $x_{best}$是最优的
$M=max\{|x_i-x_{best}|\}$
$\widehat{x_i}=1-\frac{|x_i-x_{best}|}{M}$

区间型指标：在[a,b]之间是最优的
$M=max\{a-min\{x_i\},max\{x_i-b\}\}$
$\left \{ \\ \right.$

$\widehat{x_i}= \left\{\begin{matrix} 1-\frac{a-x}{M};\qquad x<a\\ 1；\qquad a≤x≤b\\ 1-\frac{x-b}{M};\qquad x>b \end{matrix}\right.$

标准化

$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{ij}^2}}$

求优劣距离

构造计算评分的公式：

$\frac{x-min}{max-min}$

可以看作

$\frac{x-min}{max-min}=\frac{x-min}{(max-x)+(x-min)}$

即

$\frac{x与最小值的距离}{x与最大值的距离+x与最小值的距离}$

这里直接计算欧式距离：

$D^+_i=\sqrt{\sum^m_{j=1}(Z^+_--z_{ij})^2}$

$D^-_i=\sqrt{\sum^m_{j=1}(Z^-_--z_{ij})^2}$

计算得分：

$S_i=\frac{D^-_i}{D^-_i+D^+_i}$

$S_i$越大，得分越高