2457: 取物品
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题目描述
有两堆物品，A和B从中取物品，可以从一堆中取，也可从两堆中取相同个。一次至少取一个，至多不限。当其中一人无物品可取时，则这个人输。
输出胜者。
输入
输入有一行，x，y。
x为第一堆物品的数量。
y为第二堆物品的数量。
0 < x, y < 10^9
输出
输出胜者。
样例输入
5 2
样例输出
A
题目网址： http://acm.zzuli.edu.cn/problem.php?id=2457
思路：
这个题就是典型的威佐夫博弈的问题。
威佐夫博弈：
有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种规则下游戏是颇为复杂的。我们用（a[k]，b[k]）（a[k] ≤ b[k] ,k=0，1，2，…,n)表示两堆物品的数量并称其为局势。
如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。
首先列举人们已经发现的前几个奇异局势：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
通过观察发现：a[0]=b[0]=0,a[k]是未在前面出现过的最小自然数,而 b[k]= a[k] + k。
奇异局势有如下三条性质：
1、任何自然数都包含且仅包含在一个奇异局势中。
2、任意操作都可以使奇异局势变为非奇异局势。
3、必有一种操作可以使非奇异局势变为奇异局势。
性质1中的存在性很好理解，对于唯一性，因为a[k]是未在前面出现过的最小自然数。所以a[k]>a[k-1],b[k] = a[k]+k > a[k-1]+k-1 + 1 > b[k-1] > a[k-1].
即b[k] > a[k] > b[k-1] > a[k-1]。所以某个自然数不会出现多于一次的情况。
性质2,我们可以尝试游戏规则中的两种操作：
如果从某一堆中取，那么a[k],b[k]中必有一个量发生变化，由性质1，则变化后的局势不可能是奇异局势。
如果同时从两堆中取同样多的物品，但由于其差（b[k]-a[k]）不会改变，所以它变化后的局势也不可能是奇异局势。
性质3，需要分多种情况考虑，假设面对的局势是(i,j),(我们规定i<=j)
1.若i = j，则同时从两堆取走i个，局势变成(0,0)的奇异局势.
2.若i是某个奇异局势的a[k]，且j>b[k],则从j中取出 j-b[k] 个，局势变成(a[k],b[k])的奇异局势.
3.若i是某个奇异局势的a[k]，且j<b[k],两堆之差为 j - i 个，同时从两堆中取出 a[ k ] - a[ j-i ] 个，局势变成( a[ j-i ] , b[ j-i ] )的奇异局势.
4.若j是某个奇异局势的b[k]，且i>a[k],则从i中取出 i-a[k] 个，局势变成(a[k],b[k])的奇异局势.
5.若j是某个奇异局势的b[k]，且i< a[k],则一定有 i = b[ m](m < k) .此时从j中取出 j-a[m] 个，局势变成(a[m],b[m])的奇异局势.
由此，性质3得证。
可以看出，如果两人都采取正确的操作，那么对于非奇异局势，先拿者必胜，对于奇异局势，先拿者必败。
对于奇异局势，有如下公式：
a[k]=[k*(1+√5)/2]，b[k]=a[k]+k。(k=0,1,2…，[]表示取整）
有趣的是，式中的(1+√5)/2正是黄金分割比例。
代码：
#include<cstdio>
#include<cmath>
long long a[100010],b[100010];
long long Wythoff(long long x) //威佐夫博弈
{
long long i;
for(i=0;i<=100000;++i)
{
a[i]=(long long)(i*(1.0+sqrt(5.0))/2);
b[i]=a[i]+i;
if(a[i]==x) //到达指定位置结束并返回b[i]
return b[i];
}
}
int main()
{
long long n,i,m,t;
scanf("%lld %lld",&m,&n);
if(n<m) //判断大小调换一下
t=m,m=n,n=t;
if(Wythoff(m)==n) //若果是奇异局势后拿着赢
printf("B\n");
else
printf("A\n");
return 0;
}