MIT_Linear_Algebra_lec14: 正交向量和正交子空间

Lecture 14 : Orthogonal Vectors and Subspaces

MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

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正交向量

• $x$与 $y$正交，（这里 $x,y$可以看成列向量）表示 $x,y$点积为零

  $x^Ty = 0$ $Σ_ix_iy_i = 0$

• $x, y, x+y$可以构成一个直角三角形， $x,y$夹角为 $90°$满足毕达哥拉斯定理，即：

  $||x||^2$ + $||y||^2$ = $||x+y||^2$ $x^Tx$ + $y^Ty$ = $(x+y)^T(x+y)$ $x^Ty = y^Tx = 0$

• 零向量与所有向量正交

正交子空间

子空间S与子空间T正交 ，表示S中的任意向量与T中的任意向量正交

• 两个子空间如果相交，不会相交于非零向量

  解释： 如果它们相交于非零向量，容易找到 $v1∈S, v2 ∈ S∩T$,且两者不成90°

列空间，行空间与零空间的关系

• 行空间与系数矩阵的零空间是正交互补的 $Ax = 0$ 其中A是系数矩阵，A的行向量组成了行空间 $[row1\ row2 ...]^Tx$ = $[0 \ 0 ...]^T$
  列数 - 系数矩阵的秩 = 零空间的秩
• 列空间与系数矩阵的转置是正交互补的