微积分基础-极限，导数，反导数

1. 瞬时变化率

平均变化率-平均速度

瞬时变化率-瞬时速度

从平均速度引入瞬时速度比较合适。举例，对于平均速度来说，当时间差接近0时，平均速度就变成了瞬时速度

平均速度又等于两点的斜率，当时间差接近0时，斜率(瞬时斜率)又等于曲线切线的斜率，因此曲线切线的斜率就是瞬时速度

利用无限小增量的方式，就能得到某点的瞬时斜率

$avg \; speed = \frac{\Delta distance}{\Delta time} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{dx} = \frac{100m}{9.58s} = 10.44 \; \frac{m}{s} = m \; or \; slope$

$instantaneous \; speed = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

斜率就是两点之间的平均变化率

不指明方向叫速率，指明方向叫速度

2. 极限

极限是微积分的基础，尽管它非常重要，却是一个很简单的概念

定义(epsilon delta definition)：对于给出的任何大于0的ε，无论ε等于多少，都存在一个大于0的Δ，使得当0<|x-c|<Δ时，0<|f(x)-L|<ε，那么就称L是函数f在x趋于c时的极限。本质上来说，可以无限接近极限值，是因为可以选取任何的ε。ε决定f(x)距极限值的距离

例子，证明：

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3x(x-1)}{x-1}=3$

此例中，c=1,L=3

$Given: \epsilon > 0$

$Prove: \Delta > 0$

$\epsilon > 0$

$\Rightarrow 0 < \left | f(x)-L \right | < \epsilon$

$\Rightarrow 0 < \left | \frac{3x(x-1)}{x-1} - 3 \right | < \epsilon$

$when: \; 0 < \left | x-c \right | < \Delta$

$\Rightarrow 0 < \left | x - 1 \right | < \Delta$

$\Rightarrow 0 < \left | \frac{3x(x-1)}{x-1} - 3 \right | < \epsilon$

$0 < \left | 3x - 3 \right | < \epsilon$

$\Rightarrow 0 < \left | x-1 \right | < \frac{\epsilon}{3}$

$\Rightarrow \Delta = \frac{\epsilon}{3}$

3. 导数

直线斜率推广到曲线中，就有了导数

直线的斜率一直不变，曲线的斜率是变化的（曲线上某点的斜率等于该点切线的斜率）

直线斜率->曲线割线的斜率->曲线切线的斜率

Δx很大时，割线斜率与确切点切线的斜率相差较大，但Δx很小时，割线斜率就与确切点切线的斜率很接近了；取割线斜率在Δx趋于0时的极限，割线斜率就等于确切点切线的斜率了，此时该极限式子又称为导函数，导函数的值称为导数，即某点切线的斜率：

$slope \; of \; line: \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

$slope \; of \; secant: \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x} = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

$derivative \; of \; f: f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

3.1. 导数法则

指数、加法、链式、乘法(商)法则

利用上述法则，求多项式的导函数，其实很简单

$\frac{d}{dx}A \; x^n = A \frac{d}{dx} \; x^n =A \cdot n \;x^{n-1}$

$\frac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\frac{d}{dx}f(x) + \frac{d}{dx}g(x)$

$\frac{d}{dx} h(g(x)) = g'(x) \cdot h'(g(x))$

$\frac{d}{dx} ( h(x) \cdot g(x)) =h'(x) \cdot g(x) + h(x) \cdot g'(x)$

3.2. 常用函数的导数

利用导数法则，求指数、对数、三角函数等的导数

1. 多项式的导数

2. 指数函数

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

$\frac{d}{dx} x^n = n x ^{n-1}$

3. 对数函数

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$

4. 三角函数

$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

$\frac{d}{dx} \cos x = - \sin x$

$\frac{d}{dx} \tan x = \frac{1}{\cos ^2 x}$

证明（没有按照上面的顺序）

$\begin{align*} \frac{d}{dx} x^n &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^n - x^n}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \sum_{k=0}^{n} (^n _k) x^{k-n} \Delta x ^k - x^n}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^n + (^n _1)x^{n-1} \Delta x + (^n _2) x^{n-2} \Delta x^2 + \cdots + \Delta x^n - x^n}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} (^n _1) x^{n-1} + (^n _2) x^{n-2} \Delta x + \cdots + \Delta x^{n-1} \\ &= (^n _1) x^{n-1} \\ &= n x^{n-1} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{d}{dx} \ln x &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln (x + \Delta x) - \ln x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \ln \frac{x + \Delta x}{x} \\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln (1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{1}{\Delta x}} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \ln (1+\frac{1}{n})^{\frac{n}{x}} \left \{ \frac{\Delta x}{x} = \frac{1}{n}, \Delta x = \frac{x}{n} \right \} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \ln ((1+\frac{1}{n})^n)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} \ln (\lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^n) \\ &= \frac{1}{x} \end{align*}$

首先利用 ln(x) 的导数得出：

$\frac{d}{dx} \ln e^x = \frac{1}{e^x}$

再使用链式法则求导：

$\frac{d}{dx} \ln e^x = (\frac{d}{dx} e^x) \cdot (\frac{1}{e^x})$

又因为：

$\frac{d}{dx} \ln e^x = \frac{d}{dx} x \ln e = \frac{d}{dx} x = 1$

所以：

$\frac{d}{dx} \ln e^x = (\frac{d}{dx} e^x) \cdot (\frac{1}{e^x}) = 1$

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

4. 反导数法则(积分法则)

反指数、加法、反链式、反乘法法则，反乘法法则又推导出了分部积分，三角代换。

$\int B \; x^n \; dx = \frac{B}{n+1} x^{n+1} + C$

$\int (f(x) + g(x)) dx = \left $\int f(x) dx + \int g(x) dx \right $ + C$

$\int g'(x) f'(g(x)) \; dx = f(g(x))$

$\int \left $ f'(x) \;g(x) + f(x) \;g'(x)\right $ dx = f(x) \; g(x)$

分部积分（比反乘法法则更有用，每进行一次，f(x)的指数会降低一次）：

$\int f(x) \; g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) dx$

反链式看不出来的话，可以使用代换积分法

4.1. 如何理解积分

积分只是“对许多宽很小的矩形面积求和”。导函数曲线下的面积等于原函数两个函数值的差，因此可以利用积分求曲线下的面积：

$\begin{align*} & F'(x) = f(x) \\ & F(x) = \int f(x) \; dx \\ & F(b) - F(a) = \int _a ^b f(x) \; dx \end{align*}$

通过“时间距离方程”可以说明为什么曲线下的面积等于原函数两个值的差：

假设“时间距离方程”及其导函数“时间速率方程”为：

$\begin{align*} & F(t) = 2t^3 \\ & F'(t) = f(t) = 6t^2 \end{align*}$

通过“时间距离方程”求1秒到2秒经过的距离：

$distance = F(2) - F(1) = 14$

通过“时间速率方程”求1秒到2秒经过的距离：

$distance = f(1) * \Delta t + f(1+\Delta t) * \Delta t + f(1+ 2\Delta t) * \Delta t + \cdots$

当δt趋于0时，通过“时间速率方程”求得的距离近似等于“时间距离方程”的结果。

又因为：

$f(1)*\Delta t, f(1+ \Delta t)*\Delta t, \cdots$

为导函数曲线下的一系列长方形的面积，因此如果想求某个曲线下的面积，可以先对曲线积分，然后利用积分求得曲线下的面积

进一步扩展，可以利用积分思想求旋转体的体积(圆盘方法，壳方法)。

假设导函数沿x轴旋转，旋转体的体积（圆盘方法）为：

$\begin{align*} & A=\pi (f(x))^2 \\ & V_d = \pi (f(x))^2 \; dx \\ & V_t = \int \pi (f(x))^2 \; dx \end{align*}$

假设导函数沿y轴旋转，旋转体的体积（壳方法）为：

$\begin{align*} & C = 2 \pi r = 2 \pi x_1 \\ & A = C \cdot h = 2 \pi x_1 \cdot f(x_1) \\ & V_{shell} = A \cdot dx = 2 \pi x_1 \cdot f(x_1) \cdot dx \\ & V_t = \int 2 \pi x f(x) dx \end{align*}$

4.2. 例子

4.2.1. 换元法

$\int (\sin x)^3 \; \cos x \;dx$

$let \quad u=\sin x , \quad \frac{du}{dx}=\cos x$

$\int (\sin x)^3 \; \cos x \; dx = \int u^3 \frac{du}{dx} dx = \int u^3 du = \frac{1}{4} u^4 = \frac{1}{4} (\sin x)^4$

4.2.1.1. 三角换元法

三角换元法隶属于换元法

$\int \frac{1}{\sqrt{3 - 2x^2}} \; dx = \int \frac{1}{\sqrt{3(1-\frac{2}{3}x^2)}} \; dx$

$set \quad \frac{2}{3} x^2 = (\sin \theta)^2$

$\Rightarrow \theta = \arcsin \sqrt{\frac{2}{3}} \; x$

$x = \sqrt{\frac{3}{2}} \sin \theta \qquad \frac{dx}{d \theta} = \sqrt{\frac{3}{2}} \cos \theta$

$\begin{align*} & \int \frac{1}{\sqrt{3(1-\frac{2}{3} x^2)}} \; dx \\ & = \int \frac{\sqrt{\frac{3}{2}} \cos \theta \; d \theta}{\sqrt{3(1- (\sin \theta)^2)}} \\ & = \int \frac{\sqrt{\frac{3}{2}} \cos \theta \; d \theta}{\sqrt{3} \cos \theta} \\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \; \theta + C \end{align*}$

将Θ代回去：

$\frac{1}{\sqrt{2}} \theta + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \arcsin \sqrt{\frac{2}{3}} x + C$

4.2.2. 分部积分

$\int e^x \cos x \; dx = \frac{e^x \sin x + e^x \cos x}{2}$

证明：

$assume \quad f(x) = e^x, \quad g'(x) = \cos x$

$\int e^x \cos x \; dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x \; dx$

$assume \quad f(x) = e^x, \quad g'(x) = \sin x$

$\begin{align*} \int e^x \cos x \; dx &= e^x \sin x - \int e^x \sin x \; dx \\ &= e^x \sin x - (e^x \cdot -\cos x - \int (e^x \cdot -\cos x) dx ) \\ &= e^x \sin x + e^x \cos x - \int e^x \cos x \; dx \\ 2 \int e^x \cos x \; dx &= e^x \sin x + e^x \cos x \\ \int e^x \cos x \; dx &= \frac{e^x \sin x + e^x \cos x}{2} \end{align*}$

5. 微分方程

微分：一个差值，无限小的变化量；y方向无限小的变化量，称为y微分，x方向无限小的变化量，称为x微分

微分方程：包含微分的方程称为微分方程

注意：传统方程的解是一个数字，微分方程的解是一个函数

$\begin{align*} & \frac{dy}{dx}=x^2+1 \\ & dy = (x^2+1) \; dx \\ & \int dy = \int (x^2+1)\;dx \\ & y = \frac{x^3}{3} + x + C \end{align*}$