数学分析笔记5：导数的应用

泰勒公式

带佩亚诺余项的泰勒公式

微分的意义是用线性函数去逼近一个复杂的函数。实际上，我们还可以引入更高次的多项式取逼近一个复杂的函数，这就是Taylor公式表达的观点。
定理5.1 $f(x)$在 $x_0$的某个邻域上有直到 $n-1$阶导数，并且在 $x_0$具有 $n$阶导数，则 $f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} {(x-x_0)^k} +o((x-x_0)^n)$

证：
首先， $n=1$时结论显然成立。
假设，如果函数 $f(x)$在 $x_0$处有直到 $m$阶导数，有 $f(x) = \sum_{k=0}^{m}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} {(x-x_0)^k} +o((x-x_0)^m)$如果函数 $f(x)$在 $x_0$处有直到 $m+1$阶导数，那么其一阶导数 $f^{(1)}$在 $x_0$处有直到 $m$阶导数，有 $f^{(1)}(x)= \sum_{k=0}^{m}\frac{f^{(k+1)}(x_0)}{k!} {(x-x_0)^k} + o((x-x_0)^m)$由洛必达法则： $\lim_{x\to x_0}{ \frac{ f(x) - \sum_{k=0}^{m+1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k } {(x-x_0)^{m+1}} } =\lim_{x\to x_0}{ \frac{ f^{(1)}(x)-\sum_{k=1}^{m+1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{(k-1)!}(x-x_0)^{k-1} } {(m+1)(x-x_0)^m} }\\ =\lim_{x\to x_0}{ \frac{ f^{(1)}(x)-\sum_{k=0}^{m}\frac{f^{(k+1)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k } {(m+1)(x-x_0)^m} } =\lim_{x\to x_0}{ \frac{ o((x-x_0)^m) } {(x-x_0)^m} }=0$由数学归纳法就可以证得结论

现在，我们来推导一些初等函数的泰勒公式：
例5.1 $e^x = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} +o(x^n)$

证：
由于 $f^{(n)}(x) = e^x$，因此， $f^{(n)}(0)=1$，再应用定理5.1

例5.2 求 $\ln(1+x)$在 $x=0$处的Taylor公式

解：
令 $f(x)=\ln(1+x)$，则 $f^{(1)}(x) = \frac{1}{1+x}$ $f^{(2)}(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$ $f^{(3)}(x) = 2\frac{1}{(1+x)^3}$ $f^{(4)}(x) = -6\frac{1}{(1+x)^4}$猜想： $f^{(k)}(x) = \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}$，用数学归纳法证明，如果 $f^{(k)}(x) = \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}$，那么 $f^{(k+1)}(x) = \frac{(-1)^{k-1}(k-1)! (-k)}{(1+x)^{k+1}}=\frac{(-1)^k k!}{(1+x)^{k+1}}$有归纳法，等式成立。
因此， $f^{(k)}(0) = {(-1)^{k-1}(k-1)!}(k\ge 1)$，应用定理5.1，有 $\ln(1+x) = \sum_{k=1}^{n}{\frac{ (-1)^{k-1} x^k }{k}} + o(x^n)$

例5.3 求 $(1+x)^{\alpha}$在 $x=0$处的Taylor公式

解：
令 $f(x) = (1+x)^\alpha$，求各阶导数： $f^{(1)}(x) = \alpha (1+x)^{\alpha-1}$ $f^{(2)}(x) = \alpha (\alpha - 1) (1+x)^{\alpha -2}$ $f^{(3)}(x) = \alpha (\alpha - 1)(\alpha -2) (1+x)^{\alpha -3}$我们可以将排列数的定义扩张一下，定义 $A_\alpha^k = \prod_{t=0}^{k-1}{(\alpha - t)}$，容易看出，当 $\alpha$是正整数时，该数和组合数学中的排列数的定义是一致的。
猜想： $f^{(k)}(x) = A_\alpha^k (1+x)^{\alpha - k}$，再用数学归纳法，可以证明该等式成立。于是 $f^{(k)}(0) = A_\alpha^k$，我们再扩充一下组合数的定义： $C_\alpha^k = \frac{ A_\alpha^k }{k!}$，容易验证， $\alpha$是正整数时，这个数就是组合数学上的正整数，就可以得到Taylor公式： $(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^{n} { C_\alpha^k x^k }+o(x^n)$这个形式实际上就是 $\alpha$是任意实数情形下的二项式定理。

例5.4 求 $\arctan{x}$在 $x=0$处的Taylor公式

解：
实际上，我们已经求过了 $f(x)=\arctan{x}$的高阶导数： $f^{(k)}(x) = (k-1)!\cos^k(\arctan{x})\sin(k\arctan{x}+\frac{k\pi}{2})$因此， $f^{(k)}(0)=(k-1)!\sin(\frac{k\pi}{2})$，因此， $\arctan{x}$的Taylor公式为 $\arctan{x} = \sum_{k=0}^{n}{ \frac{(\sin{ \frac{k\pi}{2} })x^k}{k} }+o(x^n)$

例5.5 $\sin{x} = \sum_{k=0}^{n}{ \frac{ (\sin{\frac{k\pi}{2}}) x^k } {k!} }+o(x^n)$ $\cos{x} = \sum_{k=0}^{n}{ \frac{ (\cos{\frac{k\pi}{2}}) x^k } {k!} }+o(x^n)$

定理5.2(Taylor公式的唯一性) $x\to x_0$时，若 $f(x) = \sum_{k=0}^{n}{a_k (x-x_0)^k} +o((x-x_0)^n) = \sum_{k=0}^n{b_k (x-x_0)^k}+o((x-x_0)^n)$则必有 $a_k=b_k , k=0,\cdots,n$

证：
首先，令 $x\to x_0$，就可以得到 $a_0=b_0$，这样， $\sum_{k=1}^{n}{a_k (x-x_0)^k} +o((x-x_0)^n) = \sum_{k=1}^n{b_k (x-x_0)^k}+o((x-x_0)^n)$两边除以 $x-x_0$，再令 $x\to x_0$，又有 $a_1=b_1$，这样就有 $\sum_{k=2}^{n}{a_k (x-x_0)^k} +o((x-x_0)^n) = \sum_{k=2}^n{b_k (x-x_0)^k}+o((x-x_0)^n)$重复以上步骤可以证得结论

这说明我们可以通过复合的形式，得到某些复杂函数的Taylor公式。
例5.6 求 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$在 $x=0$处的Taylor展开

解：
我们知道 $g(x)=(1+x)^{-\frac{1}{2}}$在 $x=0$处的Taylor展开为： $g(x) = \sum_{k=0}^{n}{ C_{-\frac{1}{2}}^{k} x^k } + o(x^n)$代入，就有 $f(x) = g(x^2) = \sum_{k=0}^{n}{ C_{-\frac{1}{2}}^{k} x^{2k} } + o(x^{2n})$由Taylor公式唯一性， $f(x)$在 $0$处所有奇数阶导数为0，而 $f^{(2k)}(0) = (2k)!C_{-\frac{1}{2}}^k$

例5.7 求 $f(x) = \arcsin{x}$在 $x=0$处的Taylor展开

解：
$f(x)$所有偶数阶导数都为0，而 $f^{(2k+1)}(0) = (2k)!C_{\frac{1}{2}}^k$当 $n=2m+1(m\ge 0)$时， $\arcsin{x} = \sum_{k=0}^{m}{ \frac{ C_{-\frac{1}{2}}^k x^{2k+1} }{2k+1} } +o(x^{2m+1})$当 $n=2m(m\ge 1)$时， $\arcsin{x} = \sum_{k=0}^{m-1}{ \frac{ C_{-\frac{1}{2}}^k x^{2k+1} }{2k+1} } +o(x^{2m})$

带拉格朗日余项的泰勒公式

带佩亚诺余项的Taylor公式只指出了Taylor公式的余项是 $(x-x_0)^n$的高阶无穷小，但是没有给出余项的具体形式，而拉格朗日余项的Taylor公式将给出余项的具体形式。
定理5.3 $f(x)$在 $x_0$的某个邻域上有直到 $n$阶的连续导数，并且在该邻域上具有 $n+1$阶导数，则 $f(x)=\sum_{k=0}^{n}{ \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k }+ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$其中 $\xi$介于 $x$和 $x_0$之间

证：
令 $F(t) = f(x) - \sum_{i=0}^{n}{ \frac{f^{(i)}(t)}{i!}(x-t)^i }$ $F^\prime(t) = -\sum_{i=0}^{n}{ \frac{f^{(i+1)}(t)}{i!}(x-t)^i } +\sum_{i=1}^{n}{ \frac{f^{(i)}(t)}{(i-1)!}(x-t)^{i-1} }\\ =-\sum_{i=0}^{n}{ \frac{f^{(i+1)}(t)}{i!}(x-t)^i }+ \sum_{i=0}^{n-1}{ \frac{f^{(i+1)}(t)}{i!}(x-t)^{i} }\\ =-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n$令 $G(t)=(x-t)^{n+1}$， $F(x)=G(x)=0$,由柯西中值定理 $\frac{F(x_0)}{G(x_0)}=\frac{F(x_0)-F(x)}{G(x_0)-G(x)}=\frac{F^\prime(\xi)} {G^\prime(\xi)}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$

例5.8 证明： $x>-1$时， $\ln(1+x)<x$

证：
由拉格朗日余项的泰勒公式 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2(1+\xi)^2}$其中， $\xi$介于 $0$到 $x$之间，而 $\frac{x^2}{2(1+\xi)^2}>0$

例5.9 证明： $x\neq 0$时, $e^x>1+x$

证：
由拉格朗日余项的泰勒公式 $e^x = 1 + x +\frac{e^{\xi}x^2}{2}$其中， $\xi$介于 $0$和 $x$之间，而 $\frac{e^{\xi}x^2}{2}>0$

例5.10 $f(x)$在原点的邻域二次可导，且 $\lim_{x\to 0}(\frac{\sin{3x}}{x^3}+\frac{f(x)}{x^2})=0$(1)求 $f(0)$， $f^\prime(0)$， $f^{\prime\prime}(0)$
(2)求 $\lim_{x\to 0}(\frac{3}{x^2}+\frac{f(x)}{x^2})$

解：
(1) $\frac{\sin{3x}}{x^3}+\frac{f(x)}{x^2}=\frac{\sin{3x}+xf(x)}{x^3}\\ =\frac{ 3x - \frac{9}{2}x^3 + o(x^3) + f(0)x+f^\prime(0)x^2+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2}x^3 + xo(x^2) } {x^3}\\ =\frac{ (3+f(0))x +f^\prime(0)x^2 + (\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2}-\frac{9}{2})x^3 + o(x^3) } {x^3}$由极限 $\lim_{x\to 0}(\frac{\sin{3x}}{x^3}+\frac{f(x)}{x^2})$存在，就必须有 $\begin{cases} 3+f(0)=0\\ f^\prime(0)=0 \end{cases}$而 $\lim_{x\to 0}(\frac{\sin{3x}}{x^3}+\frac{f(x)}{x^2}) = \frac{f^{\prime\prime}(0)}{2}-\frac{9}{2} = 0$因此， $f^{\prime\prime}(0)=9$
(2) $\frac{3}{x^2}+\frac{f(x)}{x^2} =\frac{3-3+\frac{9}{2}x^2+o(x^2)}{x^2}=\frac{9}{2}+\frac{o(x^2)}{x^2}$令 $x\to 0$，就有 $\lim_{x\to 0}(\frac{3}{x^2}+\frac{f(x)}{x^2})=\frac{9}{2}$

函数的单调性

借助导数的正负，可以判断函数在某一个区间的单调性。
定理5.4 $f(x)$在区间 $I$上连续可导，则 $f(x)$在 $I$上单调上升（下降）的充要条件是 $f(x)$在 $I$上的导数非负（非正）

证:
仅证单调上升的情形。
充分性，如果 $f(x)$在区间 $I$上单调上升，则对任意的 $x_0\in I$，对任意的 $x_0<x \in I$，都有 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$上式令 $x\to x_0^+$，就有 $f^\prime(x_0)\ge 0$
必要性，如果 $f(x)$在区间 $I$上导数非负，那么由拉格朗日中值定理，对 $x_1<x_2$， $x_1\in I ,x_2 \in I$ $f(x_2)-f(x_1) = f^\prime(\xi)(x_2-x_1) \ge 0$ $f(x)$在 $I$上单调上升

函数的极值与最值

在证明中值定理时，我们已经给出了极值点的一个必要条件：导数为0。本节讨论的是取极值的充分条件。
定理5.5 $f(x)$在 $x_0$的某个邻域上可导， $f^{\prime}(x_0)=0$， $f^{\prime}(x)$在该邻域上单调上升（下降），则 $f(x)$在 $x_0$处取得极小值（极大值）

证：
仅证导数单调上升的情况。
如果 $f^\prime(x)$在该邻域上单调上升，那么， $x<x_0$时， $f^\prime(x)\le 0$，则 $f(x)$在 $x_0$的左半邻域上单调下降，对左半邻域的任意一点 $x$，有 $f(x)\ge f(x_0)$。
$x>x_0$时， $f^\prime(x) \ge 0$，则 $f(x)$在右半邻域上单调上升，从而对 $x>x_0$， $f(x)\ge f(x_0)$。
综上，在该邻域内，都有 $f(x)\ge f(x_0)$， $f(x)$在 $x_0$处取得极小值。

推论5.1 $f(x)$在 $x_0$的某个邻域上可求二阶导数， $f^{\prime}(x_0)=0$， $f^{\prime\prime}(x_0)>0(f^{\prime\prime}(x_0)<0)$，则 $f(x)$在 $x_0$处取得极小值（极大值）
实际上，由泰勒公式，我们由更加广义的判断方法。
定理5.6 $f(x)$在 $x_0$的某个邻域上具有直到 $n$阶的导数，如果 $f^{(1)}(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0$， $f^{(n)}(x_0)\neq 0$，则
(1)如果 $n$是偶数， $f^{(n)}(x_0)>0$时， $f(x)$在 $x_0$处取得严格极小值， $f^{(n)}(x_0)<0$时， $f(x)$在 $x_0$处取得严格极大值
(2)如果 $n$是奇数， $f^{(n)}(x)$在 $x_0$处不取极值

证：
先证明(1):由泰勒公式： $f(x) = f(x_0)+\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} +o((x-x_0)^n)$ $x\neq x_0$时 $\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^n} =\frac{ f^{(n)}(x_0) }{n!} + \frac{o((x-x_0)^n)}{(x-x_0)^n}$存在 $\delta>0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$时，有 $|\frac{o((x-x_0)^n)}{(x-x_0)^n}|<\frac{f^{(n)}(x_0) }{2n!}$此时， $\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^n} =\frac{ f^{(n)}(x_0) }{n!} + \frac{o((x-x_0)^n)}{(x-x_0)^n} \frac{f^{(n)}(x_0) }{2n!}>0$从而 $f(x)>f(x_0)$， $f(x)$在 $x_0$处取得严格极小值。严格极大值情形的证明是类似的。
(2)仿照(1)的证明方法，不妨设 $f^{(n)}(x_0)>0$， $f^{(n)}(x_0)<0$情形的证明是类似的，存在 $\delta>0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$时，有 $\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^n} =\frac{ f^{(n)}(x_0) }{n!} + \frac{o((x-x_0)^n)}{(x-x_0)^n} \frac{f^{(n)}(x_0) }{2n!}>0$但由于 $n$是奇数，当 $0<x-x_0<\delta$时， $f(x)-f(x_0)>0$，当
$-\delta<x-x_0<0$时， $f(x)-f(x_0)<0$，因此， $f(x)$在 $x_0$处不取极值

函数的凹凸性

我们先给出凸函数的定义。
定义5.1 $f(x)$是定义在区间 $I$上的函数
(1)如果对任意的 $x_1,x_2\in I$，对任意的 $t\in(0,1)$，都有 $f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$则称 $f(x)$是区间 $I$上的下凸函数或上凹函数
(2)如果对任意的 $x_1,x_2\in I$，对任意的 $t\in(0,1)$，都有 $f(tx_1+(1-t)x_2)\ge tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$则称 $f(x)$是区间 $I$上的上凸函数或下凹函数

不同领域对凹凸性的定义都有不同，在运筹学、凸优化、泛函分析上，凹凸都是下凹凸性。在考研高等数学当中，凹凸性都是上凹凸性。我们这里采用的是下凹凸性。不加说明的情况下，凸函数指的是下凸函数，凹函数指的是下凹函数。
定理5.7 (凸函数判断的充要条件) $f(x)$是区间 $I$上的函数， $f(x)$是 $I$上的凸函数的充要条件是：对区间 $I$内的三个点 $x_1<x_2<x_3$，有 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$

证：
必要性，如果 $f(x)$是区间 $I$上的凸函数，则对区间 $I$内的三个点 $x_1<x_2<x_3$， $x_2 = \frac{x_2-x_1}{x_3-x_1} x_3 + \frac{x_3-x_2}{x_3-x_1} x_1$。
由凸函数定义： $f(x_2)\le \frac{x_2-x_1}{x_3-x_1} f(x_3) + \frac{x_3-x_2}{x_3-x_1} f(x_1)$整理即可得到不等式 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$充分性：如果对区间 $I$内的三个点 $x_1<x_2<x_3$，有 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$对任意的 $x_1<x_3$，对任意的 $t\in(0,1)$，令 $x_2=tx_1+(1-t)x_3$， $x_1<x_2<x_3$，再套用以上不等式，相应地变形就可以证得结论。

定理5.8 $f(x)$是区间 $I$上的可导函数， $f(x)$是 $I$上的凸函数的充要条件是： $f^\prime(x)$在 $I$上单调上升

证：
充分性由拉格朗日中值定理可以证得，仅证必要性：
任取区间 $I$内的四个点 $x_1<x_2<x_3<x_4$,则 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2} \le \frac{f(x_4)-f(x_3)}{x_4-x_3}$ $x_2\to x_1$，就得到不等式 $f^\prime(x_1) \le \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1} \le \frac{f(x_4)-f(x_3)}{x_4-x_3}$再令 $x_3\to x_4$，就得到： $f^{\prime}(x_1) \le \frac{f(x_4)-f(x_1)}{x_4-x_1} \le f^\prime (x_4)$再由 $x_1,x_4$的任意性，就可以得到 $f^\prime$单调上升的结论。

定理5.9 $f(x)$是区间 $I$上的可导函数， $f(x)$是 $I$上的凸函数的充要条件是：对任意的 $I$内的两点 $x_1<x_2$，都有 $f^\prime(x_1)\le \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le f^\prime(x_2)$

证:
必要性：如果 $f(x)$是 $I$上的凸函数，对任意的 $x_1<x_3<x_2$，有不等式 $\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1} \le \frac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3}$令 $x_3\to x_1$和 $x_3 \to x_2$即可得出结论
充分性：如果 $I$内的两点 $x_1<x_2$，都有 $f(x_2)-f(x_1)\le f^\prime(x_1)(x_2-x_1)$对任意的区间 $I$中的三个点 $x_1<x_3<x_2$，有不等式 $\frac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3} \ge f^\prime(x_3)$ $\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1} \le f^\prime(x_3)$因此， $\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1} \le \frac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3}$ $f(x)$是 $I$上的凸函数

有了二阶导之后，我们就有更方便的判断凹凸性的方法
推论5.2 $f(x)$在区间 $I$上具有二阶导数， $f(x)$在 $I$上是凸函数的充要条件是 $f(x)$的二阶导数在 $I$上非负

函数图像的绘制

明晰了函数的极值、最值、单调性、凹凸性之后，就可以大致画出函数曲线的轮廓，本节仅以一例，演示函数图像画图的过程。
在此，我们先补充拐点和渐近线的概念。所谓拐点，就是在该点的两侧，函数的凹凸性是相反的。渐近线分为斜渐近线，水平渐近线和铅直渐近线三类。
斜渐近线指的是 $f(x)-ax-b\to 0(x\to \infty)$时的直线 $y=ax+b$，当 $a=0$时渐近线成了水平渐近线。铅直渐近线指 $f(x)\to\infty(x\to x_0)$时的直线 $x=x_0$。
有了拐点、驻点、单调性、凹凸性、渐近线，函数基本走势也就明晰了。求函数的图像就可以依据以下步骤进行：

(1)确定函数定义域
(2)研究函数有界性、奇偶性和周期性
(3)求解导数，研究导数正负，确定单调区间
(4)求解二阶导数，研究函数凹凸性，确定拐点和凹凸区间
(5)确定全体渐近线
(6)计算一些重要的点的函数值
(7)依据以上确定的趋势描绘出草图