数学分析笔记9：数项级数

数项级数的定义和相关概念

所谓无穷级数就是可列个实数相加。那么，该如何定义可列个实数的和呢？我们已经有了有限个实数的和，对一个数列 $\{x_n\}$，我们有前n个实数的和 $S_n = \sum_{k=1}^n{x_k}$这就组成了部分和序列 $\{S_n\}$，很自然地，我们就想到用部分和序列的数列极限来作为可列个实数的和。
定义9.1 $\{x_n\}$是实数列，如果极限 $\lim_{n\to \infty}{\sum_{k=1}^{n}{x_k}}$存在，那么称级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$收敛，记为 $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n} = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=1}^n{x_k}}$

定理9.1（数项级数收敛的必要条件） $\{x_n\}$是实数列，如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$收敛，则 $\lim_{n\to\infty}{x_n}=0$

证：
$x_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2)$
两边取极限就能证得结论

同样地，由柯西准则，我们可以得到级数收敛的一个充要条件。
定理9.2（数项级数收敛的柯西准则） $\{x_n\}$是实数列，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$收敛的充分必要条件是对任意的正数 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$，对任意的 $n\ge N$，对任意的正整数 $p$，都有 $|\sum_{k=n}^{n+p}{x_k}|<\varepsilon$
类似于广义积分的绝对收敛和条件收敛，级数也有相应的条件收敛和绝对收敛。
定义9.2 $\{x_n\}$是实数列，如果 $\sum_{n=1}^{\infty}{|x_n|}$收敛，就称级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$绝对收敛，如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$收敛，但不绝对收敛，就称级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$条件收敛

定理9.3 $\{x_n\}$是实数列，如果 $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$绝对收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$收敛

证明是类似的，这里不证。

这样，我们判断一个级数是否收敛，首先判断通项是否趋于0，其次判断是否绝对收敛，在不绝对收敛的条件下再判断是否条件收敛。

级数审敛法

比较判别法

由于绝对收敛蕴含着级数收敛，因此，我们首先考虑正项级数的敛散性的判断。同样地，如果 $x_n\ge 0(n\ge 1)$，那么部分和序列 $\{S_n\}$单调上升，这样，级数的收敛等价于部分和序列是否有界。
定理9.5 $\{x_n\}$是非负实数列，则正项级数 $\sum_{n=1}^\infty{x_n}$收敛的充分必要条件是存在正实数 $M>0$，对任意的 $n\ge 1$，部分和 $\sum_{k=1}^{n}{x_k}\le M$

这样，就可以通过和基准级数的比较来判断正项级数的敛散性。
定理9.6 $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$是两个非负实数列，如果存在正整数 $N$及正实数 $c_1>0,c_2>0$，当 $n\ge N$时， $c_1x_n\le c_2y_n$，则
(1) $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}{y_n}$发散
(2) $\sum_{n=1}^{\infty}{y_n}$收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$收敛
类似于广义积分，比较审敛法也有其极限形式。
定理9.7 $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$是两个非负实数列， $y_n>0(n\ge 1)$，如果 $\lim_{n\to\infty}{\frac{x_n}{y_n}}=a$(1) $a=0$则，如果 $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$发散， $\sum_{n=1}^{\infty}{y_n}$发散,如果 $\sum_{n=1}^{\infty}{y_n}$收敛， $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$收敛
(2) $0<a<\infty$，则 $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$和 $\sum_{n=1}^{\infty}{y_n}$同敛散

广义积分判别法

提出广义积分判别法是为了给出一组重要的基准级数的收敛性。这组基准级数敛散性的判断可以作为正项级数敛散性的重要依据。
定理9.7(积分审敛法) $f(x)$在 $[0,+\infty)$上非负单调下降，对任意的 $x>0$， $f(x)$在 $[0,x]$上可积，则 $\sum_{n=1}^\infty {f(n)}$的充要条件是无穷限积分 $\int_0^{+\infty}{f(x)dx}$收敛
在证明广义积分判别法之前，我们先看该定理的几何意义。

如图， $f(1)+f(2)+f(3)$可以表为图(a)和(b)的三个矩形的面积。只不过在图(a)中三个矩形的面积小于 $\int_0^3{f(x)dx}$，在图(b)中，三个矩形的面积大于 $\int_1^4{f(x)dx}$。这样，就可以利用无穷限积分的收敛性，判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{f(n)}$的敛散性。

证：
如果无穷限积分 $\int_0^\infty{f(x)dx}$收敛，那么，存在正实数 $M>0$，对任意的 $x>0$，都有 $\int_0^x{f(t)dt}<M$而 $\sum_{k=1}^n{f(k)}\le\int_0^n{f(t)dt}<M$因此，正项级数 $\sum_{n=1}^\infty{f(n)}$收敛。
如果无穷限积分 $\int_0^\infty{f(x)dx}$收敛，则 $\lim_{n\to\infty}{\int_1^n{f(t)dt}}=+\infty$而 $\sum_{k=1}^n{f(k)}\ge\int_1^{n+1}{f(t)dt}$因此， $\sum_{n=1}^\infty{f(n)}$发散

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现在，我们来给出两个重要的级数，后面的正项级数判别法大多都基于这两个基准进行。
例9.1 判断级数 $\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n^\alpha}}$的敛散性

解：
我们知道无穷限积分 $\int_1^\infty{\frac{dx}{x^\alpha}}$在 $\alpha>1$时收敛， $0<\alpha\le 1$时发散。因此， $\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n^\alpha}}$在 $\alpha>1$时收敛， $0<\alpha\le 1$时发散。

例9.2 判断几何级数 $\sum_{n=1}^\infty{x^n}$的敛散性( $x>0$)

解：
实际上，几何级数的部分和我们在中学时已经求出。 $S_n = \frac{x(1-x^n)}{1-x}$因此， $0\le x<1$时级数收敛。 $x\ge 1$时级数发散。

达朗贝尔判别法和柯西根值判别法

现在，我们有了两个基准，将正项级数和这两个级数进行比较。就得到正项级数的达朗贝尔判别法和柯西根值判别法。实际上，如果存在正实数 $0<x<1$，存在 $N$， $n\ge N$时， $x_n \le x^n$正向级数 $\sum_{n=1}^\infty{x_n}$收敛，如果存在 $N$, $n\ge N$， $x_n\ge 1$，级数一定发散，至少通项不趋于0。我们可以给出一种比值形式的比较：如果存在正实数 $x<1$， $n\ge N$时，都有 $\frac{x_{n+1}}{x_n} \le x$那么， $n>N$时 $x_n = x_N\prod_{k=N}^{n-1}{\frac{x_{k+1}}{x_k}} \le x_Nx^{n-N}$这样，由比较判别法，就可以得到达朗贝尔判别法。
定理9.8（达朗贝尔判别法） $\{x_n\}$是每项都为正数的实数列。
(1)如果存在正实数 $a<1$，存在正整数 $N$， $n\ge N$时，都有 $\frac{x_{n+1}}{x_n}\le a$则正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$收敛
(2)如果存在正整数 $N$， $n\ge N$时，都有 $\frac{x_{n+1}}{x_n}\ge 1$则正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$发散

特别地，我们可以给出达朗贝尔判别法的极限形式
定理9.9(达朗贝尔判别法的极限形式 $\{x_n\}$是每项都为正数的实数列，并且极限 $\lim_{n\to\infty}{\frac{x_{n+1}}{x_n}}=a$存在，则：
(1) $a<1$，则正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$收敛
(2) $a>1$，则正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$发散
(3) $a=1$，则达朗贝尔判别法无法判别该级数的敛散性

根值判别法也是和几何级数比较，然而根值判别法是基于 $n$次方根进行的。
定理9.10(柯西根值判别法) $\{x_n\}$是非负实数列
(1)如果存在正实数 $c<1$及正整数 $N$, $n\ge N$， $\sqrt[n]{x_n}\le c$则正项级数 $\sum_{n=1}^\infty{x_n}$收敛
(2)如果存在正整数 $N$， $n\ge N$时，都有 $\sqrt[n]{x_n}\ge 1$则正项级数 $\sum_{n=1}^\infty{x_n}$发散

同样地有其极限形式：
定理9.11(柯西根值判别法的极限形式) $\{x_n\}$是非负实数列，极限 $\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{x_n}}=a$存在
(1)如果 $a<1$，则正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$收敛
(2)如果 $a>1$，则正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{x_n}$发散
(3)如果 $a=1$，则根值判别法无法判别级数的敛散性

拉贝判别法

如果达朗贝尔判别法和根值判别法无法判别级数的收敛性，说明级数需要一个更精细的基准级数。这时我们采用调和级数 $\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n^\alpha}}$来作为基准。
首先，如果存在 $0<p\le 1,c>0$ $a_n\ge \frac{c}{n^p} \ge \frac{c}{n}$所以我们只需要与 $\frac{1}{n}$进行比较。其次，如果 $x_n>0$，并且存在 $N$， $n\ge N$时，都有 $\frac{x_{n+1}}{x_n}\ge \frac{n}{n+1}$或可以写成 $\frac{x_n}{x_{n+1}} \le \frac{n+1}{n}$时，就有 $x_n\ge \frac{x_{N}}{N+1}\frac{1}{n}$这样，由比较审敛法，级数 $\sum_{n=1}^\infty{x_n}$发散，此时就有 $n(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1)\le 1$反之，如果 $n(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1)\ge c > 1$：我们先给出一个引理
引理9.1 对任意的大于1的正数 $c$，对任意的 $1<c^\prime<c$，存在 $N$， $n\ge N$时，都有 $\frac{c}{n}+1 \ge (1+\frac{1}{n})^{c^\prime}$

证：
对任意的 $1<c^\prime<c$，由Taylor公式，有 $(1+\frac{1}{n})^{c^\prime} = 1+\frac{c}{n}+ \frac{c^\prime-c}{n}+o(\frac{1}{n})$因此 $\lim_{n\to\infty} {n((1+\frac{1}{n})^{c^\prime}-1-\frac{c}{n})} =c^\prime-c<0$由极限的保号性，存在 $N$， $n\ge N$时， $n((1+\frac{1}{n})^{c^\prime}-1-\frac{c}{n})<0$这就证得了不等式

因此，只要： $n(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1)\ge c > 1$，那么，一定存在正整数 $N$， $n\ge N$时 $\frac{x_n}{x_{n+1}}\ge 1+\frac{c}{n} \ge (1+\frac{1}{n})^{c^\prime}$这样，再由比较审敛法，就能得到拉贝判别法：
定理9.12(拉贝判别法) $x_n>0(n\ge 1)$， $B_n=n(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1)$，则
(1)如果存在正整数 $N$， $n\ge N$时， $B_n\le 1$，则正项级数 $\sum_{n=1}^\infty{x_n}$发散
(2)如果存在正整数 $N$及大于1的实数 $c$， $n\ge N$时， $B_n\ge c$，则正项级数 $\sum_{n=1}^\infty{x_n}$收敛

拉贝判别法还有其极限形式：
定理9.13(拉贝判别法的极限形式) $x_n>0(n\ge 1)$， $B_n=n(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1)$，如果 $\lim_{n\to\infty}{B_n}=B$存在
(1) $B<1$则正项级数 $\sum_{n=1}^\infty{x_n}$发散
(2) $B>1$则正项级数 $\sum_{n=1}^\infty{x_n}$收敛
(2) $B=1$时拉贝判别法无法判别级数的敛散性

库默尔判别法

无论是达朗贝尔判别法，还是库默尔判别法，都是以某个基准级数利用比较判别法进行判别的，现在，我们把这个过程一般化。如果 $\{b_n\}$每项都大于0，并且 $\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{b_n}}$发散，那么我们可以以此为基准来判定一个级数的发散。如果正项级数 $\{x_n\}$满足：存在正数 $c>0$及正整数 $N$， $n\ge N$时，都有 $x_n\ge \frac{c}{b_n}$那么， $x_n$一定发散。同样地，我们考虑比值的形式：如果
存在正整数 $N$， $n\ge N$时，都有 $\frac{x_{n+1}}{x_n}\ge \frac{b_n}{b_{n+1}}$以上条件一定满足，相当于： $b_{n}\frac{x_n}{x_{n+1}}-b_{n+1}\le 0$我们就令 $K_n = b_{n}\frac{x_n}{x_{n+1}}-b_{n+1}$也就是说，如果 $K_n \le 0$在某个时刻之后成立，那么级数一定是发散的，自然地，我们会猜想，如果存在正数 $c>0$， $K_n \ge c >0$在某个时刻之后成立，那么正项级数是否收敛呢？答案是肯定的。
实际上，如果 $K_n\ge c>0$，那么在某个时刻之后： $b_nx_n-b_{n+1}x_{n+1}\ge c x_{n+1}$这就说明了数列 $\{b_nx_n\}$是单调下降的，并且由下界0，因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{(b_nx_n-b_{n+1}x_{n+1})}$收敛，就可以证得级数 $\sum_{n=1}^\infty{x_n}$收敛，我们注意到，以上过程并没有用到 $\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{b_n}}$的敛散性。我们将以上推理总结为以下的库默尔判别法。
定理9.14(库默尔判别法) $\{x_n\}$和 $\{b_n\}$是每项都为正数的实数列，令 $K_n = b_n\frac{x_n}{x_{n+1}} - b_{n+1}$(1)如果 $\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{b_n}}$发散，并且存在正整数 $N$， $n\ge N$时， $K_n\le 0$，则级数 $\sum_{n=1}^\infty{x_n}$发散
(2)如果存在正数 $c$，存在正整数 $N$， $n\ge N$时， $K_n\ge c$，则级数 $\sum_{n=1}^\infty{x_n}$收敛
容易验证拉贝判别法和达朗贝尔判别法都是库默尔判别法的特例。同样地，可以给出库默尔判别法的极限形式。
定理9.15(库默尔判别法的极限形式) $\{x_n\}$和 $\{b_n\}$是每项都为正数的实数列，令 $K_n = b_n\frac{x_n}{x_{n+1}} - b_{n+1}$ $\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{b_n}}$发散， $\{K_n\}$收敛且极限为 $K$
(1) $K<0$则 $\sum_{n=1}^\infty{x_n}$发散
(2) $K>0$则 $\sum_{n=1}^\infty{x_n}$收敛

狄利克雷判别法和阿贝尔判别法

对于一般的级数，如果不是绝对收敛，那么我们只能借助柯西准则来对级数的敛散性进行判别。类似于广义积分，级数也有相应的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法。
对任意的正整数 $n$，对任意的正整数 $p$，考虑和式： $\sum_{k=n}^{n+p}{x_ky_k}$
由阿贝尔变换，有 $\tag{3} \sum_{k=n}^{n+p}{x_ky_k} = x_n\sum_{k=n}^{n+p}{y_k} +\sum_{k=n}^{n+p-1}{(x_k-x_{k+1})\sum_{i=n}^k{y_i}}$由等式(3) $\tag{4} |\sum_{k=n}^{n+p}{x_ky_k}| \le |x_n||\sum_{k=n}^{n+p}{y_k}| + \sum_{k=n}^{n+p-1}{|x_k-x_{k+1}||\sum_{i=n}^k{y_i}|}$
定理9.16(狄利克雷判别法) $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$是两个实数列，如果 $\{x_n\}$单调且极限为0， $\{y_n\}$的部分和序列有界，那么级数 $\sum_{n=1}^\infty{x_ny_n}$收敛
定理9.17(阿贝尔判别法) $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$是两个实数列，如果 $\{x_n\}$单调有界，级数 $\sum_{n=1}^\infty{y_n}$收敛，那么级数 $\sum_{n=1}^\infty{x_ny_n}$收敛
我们仅证明狄利克雷判别法，阿贝尔判别法的证明是类似的。

证：
设 $\{y_n\}$部分和序列的界是 $M>0$，那么，对任意的正整数 $n$和 $p$，有 $\tag{5} |\sum_{k=n}^{n+p}{x_ky_k}| \le 2M|x_n| + 2M\sum_{k=n}^{n+p-1}{|x_k-x_{k+1}|}\\ \le 2M|x_n|+2M|x_{n+p}-x_n|\\ \le 2M(2|x_n|+|x_{n+p}|)$其中第二个不等号由单调性的得到，对任意的 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$， $n\ge N$时， $|x_n|<\frac{\varepsilon}{6M}$，由不等式(5) $|\sum_{k=n}^{n+p}{x_ky_k}| <\varepsilon$由柯西准则，级数 $\sum_{n=1}^\infty{x_ny_n}$收敛

阿贝尔判别法的证明也是类似的，这里不证。