场论——方向导数与梯度
- 方向导数(标量):多元函数在某点沿某一方向的变化率,方向定了,大小就定了
- 梯度(矢量):指示方向导数最大时方向导数方向的矢量,比如某个点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0)的梯度就指示了P点沿哪个方向会取得最大方向导数
注:方向导数在某点方向定了,大小也就定了,但是在这个点上有无数个方向,而取最大值时的方向是由这个点的梯度方向决定的,可以看出方向导数侧重于大小,而梯度侧重于方向
结论:
1.梯度向量 grad z = ( z x ′ , z y ′ ) z = (z'_x,z'_y) z=(zx′,zy′)或者 z x ′ i ⃗ + z y ′ j ⃗ z'_x\vec{i}+z'_y\vec{j} zx′i+zy′j
2.方向导数 ∂ z ∂ l = \dfrac{\partial z}{\partial l} = ∂l∂z= grad z ⋅ z· z⋅ ( c o s α , c o s β ) (cos\alpha,cos\beta) (cosα,cosβ),梯度与 l l l方向余弦的内积就是方向导数,如果两者恰好正向平行就取得最大值
例
z = 2 + a x 2 + b y 2 z = 2 + ax^2 +by^2 z=2+ax2+by2是一个二元函数,它的全微分为 d z = 2 a x d x + 2 b y d y dz = 2axdx+2bydy dz=2axdx+2bydy
z对x的偏导就是 ∂ z ∂ x = 2 a x \dfrac{\partial z}{\partial x} = 2ax ∂x∂z=2ax,反映的是z沿着x轴的变化趋势,这个方向为(1,0)
z对y的偏导就是 ∂ z ∂ y = 2 b y \dfrac{\partial z}{\partial y} = 2by ∂y∂z=2by,反映的是z沿着y轴的变化趋势,这个方向为(0,1)
那如果沿着一个其他方向的变化,应该怎么表示呢?取一个方向为 l ( c o s α , c o s β ) l(cosα,cosβ) l(cosα,cosβ)
由全微分得 ∂ z ∂ l \dfrac{\partial z}{\partial l} ∂l∂z = 2 a x ∂ x ∂ l + 2 b y ∂ y ∂ l = 2 a x c o s α + 2 b y c o s β = \dfrac{2ax\partial x}{\partial l}+\dfrac{2by\partial y}{\partial l} =2axcosα+2bycosβ =∂l2ax∂x+∂l2by∂y=2axcosα+2bycosβ这样我们就计算出了沿 l l l的方向导数
如果我们对上式进一步变形 = ( 2 a x , 2 b y ) ⋅ ( c o s α , c o s β ) (2ax,2by)\cdot (cosα,cosβ) (2ax,2by)⋅(cosα,cosβ)。两个矢量作内积是一个标量,这个标量最大值为 ∣ ( 2 a x , 2 b y ) ∣ ⋅ ∣ ( c o s α , c o s β ) ∣ = ∣ ( 2 a x , 2 b y ) ∣ |(2ax,2by)|\cdot |(cosα,cosβ)| = |(2ax,2by)| ∣(2ax,2by)∣⋅∣(cosα,cosβ)∣=∣(2ax,2by)∣当且仅当两个矢量正向平行时取得。
并且我们发现方向导数的最大值,恰好就是梯度向量的范数(模)