数学分析笔记10：函数项级数

函数项级数的概念

函数列与函数项级数

级数是一种重要的扩展函数类的手段，利用级数，我们可以表示一些没有解析表达式的函数。当然，级数是用数列极限的方式定义的，我们也可以用数列极限的方式来扩展函数类。
假设 $\{f_n(x)\}$是定义在区间 $I$的一列函数，对于每一个 $x\in I$， $\{f_n(x)\}$就成了实数列，如果对于每个 $x\in I$， $\{f_n(x)\}$都收敛，其极限记为 $f(x)$，这样， $f(x)$是一个函数，只不过是以极限方式定义的，我们称 $f(x)$为极限函数。
定义10.1 $\{f_n(x)\}$是定义在区间 $I$的一列函数，对于每一个 $x\in I$，极限\ $\lim_{n\to\infty}{f_n(x)}$存在，称 $\{f_n(x)\}$在区间 $I$上逐点收敛，记 $f(x)=\lim_{n\to\infty}{f_n(x)}$ $f(x)$称为 $\{f_n(x)\}$在区间 $I$的极限函数

有函数列极限函数，必然就有函数项级数：
定义10.2 $\{f_n(x)\}$是定义在区间 $I$的一列函数，对于每一个 $x\in I$，级数 $\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}$收敛，称函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}$在区间 $I$上逐点收敛，函数 $S(x)=\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}$称为 $\{f_n(x)\}$是定义在区间 $I$上的和函数

这样，我们就可以利用数列极限得到更广阔的一类函数。
例10.1 $\{x^n\}$在开区间 $(-1,1)$上的极限函数为 $f(x)= 0$
例10.2 函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty{x^n}$在 $(-1,1)$上逐点收敛，和函数为 $S(x)=\frac{x}{1-x}$
例10.3 函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n^x}}$在 $(1,+\infty)$上逐点收敛，然而，其和函数没有解析表达式

一致收敛的定义

我们更关心的一个问题是：通过这样构造的函数具有何种性质。
例10.4 $f_n(x)=x^n$在 $(-1,1]$上逐点收敛，极限函数为 $f(x)= \begin{cases} 0 & -1<x<1\\ 1 & x=1 \end{cases}$每一个 $f_n(x)$都是 $(-1,1]$上的连续函数，然而极限函数却不是。
实际上，如果 $f_n(x)$在 $x_0$处连续， $f(x)$也在 $x_0$处连续，用极限的语言表示，就是：
$\lim_{x\to x_0}\lim_{n\to\infty}f_n(x_0) = \lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0}{f_n(x)}$也就是两个极限过程可以交换顺序。类似的，还有积分号、求导号和函数列极限号能否交换顺序的问题。当然，从例10.4也可以看出，两个极限号不总是可交换的。但是，如果我们考虑更强的一种收敛性的时候，两种极限过程，就可以交换，这个极限过程就是一致收敛。
先来解释何谓“一致”：
函数列 $\{f_n(x)\}$在区间 $I$上是逐点收敛的，但是收敛的速度确是逐点不同的。实际上，考察数列收敛的定义就可以明白这一点：对任意的 $\varepsilon<0$，对任意的 $x\in I$，都存在正整数 $N$， $n\ge N$时 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$然而，以上定义中的 $N$，确是 $x$的函数， $x$不同，正整数 $N$就不同，这就是所谓收敛的速度。如果 $\{f_n\}$收敛的步调一致，对任意的 $\varepsilon>0$，存在一个与 $x$无关的正整数 $N$，对所有的 $x\in I$，都有 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$这就称为是一致收敛。
定义10.3 $\{f_n(x)\}$是区间 $I$上函数列，如果对任意的 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$， $n\ge N$时，对区间 $I$上任意一点 $x$，都有 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$则称 $\{f_n(x)\}$在 $I$上一致收敛到函数 $f(x)$

对函数项级数也可以定义一致收敛，这里不再赘述。我们举一例感受何谓“一致收敛”。
例10.5 对任意的 $0<\alpha<1$， $f_n(x) = x^n$在 $[0,\alpha]$上一致收敛

证：
对任意的 $0<\alpha<1$，由 $f_n$的单调性 $|f_n(x)|=x^n\le \alpha^n$对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $N$， $n\ge N$时， $\alpha^n<\varepsilon$。 $|f_n(x)|<\varepsilon$这就证明了一致收敛。

例10.5 接例10.5，证明 $f_n(x) = x^n$在 $[0,1)$上不一致收敛

证：
怎么证明一个函数列不是一致收敛的呢？按照定义，就取点列 $\{x_n\}$，取正数 $\varepsilon_0>0$，如果都有 $|f_n(x_n)-f(x_n)|\ge \varepsilon_0$那么函数列就不是一致收敛的。
实际上，我们知道 $(1-\frac{1}{n})^n$是单调递减的，并且 $\lim_{n\to\infty}{(1-\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{e}$这样 $(1-\frac{1}{n})^n\ge \frac{1}{e}$因而， $f_n(x)$在 $[0,1]$上不是一致收敛的。

$f_n(x)$在大区间 $[0,1]$上不是一致收敛的，然而放在较小的区间 $[0,\alpha]$上，一致收敛就成立了！我们可以用下图直观地感受这个差别。

如图，实际上，划定一条基准线 $y=\varepsilon_0$，不论 $n$多大，总有点在 $y=\varepsilon_0$之上，然而，划定一个子区间，在 $n$足够大时， $f_n(x)$就一定会落在 $y=\varepsilon_0$的下方，这就是为什么取子区间 $[0,\alpha]$, $f_n(x)$可以一致收敛，一旦放在 $[0,1)$上，一致收敛就不成立。
我们也可以如此理解，如果 $\{f_n\}$在区间 $I$上一致收敛，极限函数为 $f(x)$，那么， $n$足够大时， $f_n$一定落在 $f-\varepsilon$和 $f+\varepsilon$之间的一条带上。

这样， $n$足够大时， $f_n$与 $f$可以近似认为整体上“差别很小”，那么 $f_n$的性质就能整体传递到 $f$上。所以，一致收敛的条件下，极限函数有着非常好的性质。当然，这里我们只是给了一个直观的认识，并没有给出定理的论述和严格证明。我们将在第三部分完成这一点。

一致收敛的判定

M判别法

一致收敛非常重要，但紧接着就要有判定一致收敛的方法。实际上，一致收敛也有所谓的比较判别法，即是所谓的魏尔斯特拉斯判别法，简称M判别法。当然，在证明M判别法之前，我们要给出一致收敛的柯西准则：
定理10.1(一致收敛的柯西准则) 区间 $I$上的函数列 $\{f_n\}$上一致收敛的充分必要条件是：对任意的 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n\ge N$时，对任意的 $x\in I$，都有 $|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon$

证：
充分性：如果对任意的 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n\ge N$时，对任意的 $x\in I$，都有 $|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon$那么由数列收敛的柯西准则， $f_n(x)$在 $I$上是逐点收敛的，设极限函数为 $f(x)$，可取子列 $\{f_{n_k}(x)\}$，对任意的 $x\in I$，都有 $|f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_k}(x)|<\frac{1}{2^k}$有 $f_{n_k}(x)=f_{n_1}(x)+\sum_{i=1}^{k-1}{(f_{n_{i+1}}(x)-f_{n_i}(x))}$，于是 $f_{n_1}(x)+\sum_{i=1}^{\infty}{(f_{n_{i+1}}(x)-f_{n_i}(x))} = f(x)$ $|f(x)-f_{n_k}(x)|\le \sum_{i=k}^{\infty}{|f_{n_{i+1}}(x)-f_{n_i}(x)|} \le \sum_{i=k}^{\infty}{\frac{1}{2^i}}=\frac{1}{2^{k-1}}$这样，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $N$, $n,m\ge N$时，对任意的 $x\in I$，都有 $|f_n(x)-f_m(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$又存在 $K$, $n_K\ge N$，同时对任意的 $x\in I$，有 $|f_{n_K}(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$再由三角不等式 $|f_n(x)-f(x)|\le |f_n(x)-f_{n_K}(x)|+|f_{n_K}(x)-f(x)|<\varepsilon$
必要性：如果 $\{f_n\}$一致收敛到 $f$，那么对任意的正数 $\varepsilon>0$，存在 $N$， $n\ge N$时，对任意的 $x\in I$，都有 $|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$对任意的 $n,m\ge N$，就有 $|f_n(x)-f_m(x)|\le |f_n(x)-f(x)|+|f_m(x)-f(x)|<\varepsilon$

定理10.2(M判别法) $\{f_n\}$是区间 $I$上的函数列，如果存在正数列 $\{x_n\}$，对任意的 $n$，对任意的 $x\in I$，都有 $|f(x)|\le x_n$同时正项级数 $\sum_{n=1}^\infty{x_n}$收敛，则函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}$在 $I$上一致收敛
利用柯西准则很容易证明该定理，这里就省略具体的证明过程。

狄利克雷判别法和阿贝尔判别法

如果找不到基准级数，就只能借助柯西准则判定一致收敛。同数项级数的情形，我们也可以给出函数项级数的判定方法。
定理10.3(狄利克雷判别法) $\{f_n\}$和 $\{g_n\}$是区间 $I$上的两个函数列，如果：
(1)对任意的 $x\in I$， $\{f_n(x)\}$是单调数列，并且 $\{f_n(x)\}$在 $I$上一致收敛到0
(2)(一致有界)存在正数 $M>0$，对任意的 $n$及 $x\in I$，都有 $|\sum_{k=1}^{n}{g_k(x)}|\le M$则 $\{f_n(x)g_n(x)\}$在 $I$上一致收敛

定理10.4(阿贝尔判别法) $\{f_n\}$和 $\{g_n\}$是区间 $I$上的两个函数列，如果：
(1)对任意的 $x\in I$， $\{f_n(x)\}$是单调数列，并且存在 $M>0$，对任意的 $n$及 $x\in I$， $|f_n(x)|\le M$
(2)函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty{g_n(x)}$在 $I$上一致收敛
则 $\{f_n(x)g_n(x)\}$在 $I$上一致收敛
证明和数项级数是类似的，这里就省略具体的证明过程。

一致收敛的性质

连续性

定理10.5 $\{f_n(x)\}$在 $I$上一致收敛到 $f(x)$， $x_0\in I$，如果对每一个 $n$ $\lim_{x\to x_0}{f_n(x)} = x_n$并且 $\{x_n\}$收敛到 $y$，那么 $\lim_{x\to x_0}{f(x)} = y$
用两个极限过程来解释就是： $\lim_{x\to x_0}\lim_{n\to\infty}{f_n(x)}=\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0}{f_n(x)}$也就两个极限号可交换，下面我们来证明该定理：

证：
对任意的正数 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N_1$， $n\ge N_1$，对任意的 $x\in I$ $|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3}$又存在正整数 $N_2$， $n\ge N_2$时 $|x_n-y|<\frac{\varepsilon}{3}$取定一个 $n\ge \max(N_1,N_2)$，存在 $\delta>0$， $0<|x-x_0|<\delta$时 $|f_n(x)-x_n|<\frac{\varepsilon}{3}$这样 $|f(x)-y|\le |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-x_n|+|x_n-y| <\varepsilon$

推论10.1 $\{f_n\}$是区间 $I$上的连续函数列，且在 $I$上一致收敛到 $f(x)$，则 $f(x)$在 $I$上连续
这说明了，在一致收敛的情况下，连续性可以传递到极限函数上。
推论10.2 $\{f_n\}$是区间 $I$上的连续函数列，并且函数项级数 $S(x)=\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}$在 $I$上一致收敛，则 $S(x)$是 $I$上的连续函数

积分与极限号的交换

定理10.6 $\{f_n(x)\}$在 $[a,b]$上一致收敛到 $f(x)$，对任意的 $n$， $f_n(x)$在 $[a,b]$上可积，则 $f(x)$在 $[a,b]$上可积，并且 $\lim_{n\to\infty}{\int_a^b{f_n(x)dx}}=\int_a^b{f(x)dx}$

如果用极限的语言表达就是 $\lim_{n\to\infty}{\int_a^b{f_n(x)dx}}=\int_a^b{\lim_{n\to\infty}{f_n(x)}dx}$
也就是积分号和极限号可交换。

证：
分两步证明：
第一，先证明可积性，再证明积分和极限号可交换。
先考察极限函数的振幅，对任意的闭区间 $[a,b]$的两点 $x_1,x_2$ $\tag{1} |f(x_1)-f(x_2)|\le |f(x_1)-f_n(x_1)|+|f_n(x_1)-f_n(x_2)| +|f_n(x_2)-f(x_2)|$对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $N$， $n\ge N$时，对任意的 $x\in [a,b]$，都有 $\tag{2} |f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{3(b-a)}$取定一个 $n$，由 $f_n(x)$在 $[a,b]$上可积，存在分划 $\Delta$ $\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=n$在 $\Delta$上的振幅和 $\sum_{k=1}^n{\omega_k(x_k-x_{k-1})}<\frac{\varepsilon}{3}$对该分划，由(\ref{eq1})，对任意的 $x,y\in[x_{k-1},x_k]$，都有 $\tag{3} |f(x)-f(y)|\le |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(y)| +|f_n(y)-f(y)|\\ <\frac{2\varepsilon}{3(b-a)}+\omega_k$由(3)，设 $\omega^\prime_k$是 $f(x)$在 $[x_{k-1},x_k]$上的振幅，就有 $\tag{4} \omega^\prime_k \le \frac{2\varepsilon}{3(b-a)}+\omega_k$由(4)，就有 $\tag{5} \sum_{k=1}^n{\omega^\prime_k(x_k-x_{k-1})} \le \frac{2\varepsilon}{3} +\sum_{k=1}^n{\omega_k(x_k-x_{k-1})} <\varepsilon$由达布定理， $f(x)$在 $[a,b]$上可积
第二，证明积分和极限号可交换： $|\int_a^b{f_n(x)dx}-\int_a^b{f(x)dx}|\le\int_a^b{|f(x)-f_n(x)|dx}$对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $N$， $n\ge N$时，对任意的 $x\in [a,b]$，都有 $|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{(b-a)}$此时 $\int_a^b{|f(x)-f_n(x)|dx} \le \varepsilon$这就证明了积分号和极限号可交换

推论10.3 函数列 $\{f_n(x)\}$是闭区间 $[a,b]$上的可积函数列，并且函数项级数 $S(x)=\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}$在 $[a,b]$上一致收敛，则和函数 $S(x)$在闭区间 $[a,b]$上可积，并且 $\int_a^b{S(x)dx} = \sum_{n=1}^\infty{f_n(x)dx}$

导数与极限号的交换

定理10.7 $\{f_n(x)\}$是区间 $[a,b]$上的可导函数列，逐点收敛到 $f(x)$并且导函数列 $\{f^\prime_n(x)\}$在区间 $[a,b]$上一致收敛到 $\sigma(x)$，则
(1) $f_n(x)$在 $[a,b]$上一致收敛到 $f(x)$
(2) $f(x)$在 $[a,b]$上可导，并且 $f^\prime(x)=\sigma(x)\quad \forall x \in [a,b]$

证：
第一，我们证明 $\{f_n\}$在 $[a,b]$上一致收敛，用柯西准则证明
任取 $x_0\in(a,b)$，由拉格朗日中值定理，对任意的 $x\in[a,b]$ $|f_n(x)-f_m(x)|\\ \le|f_n(x_0)-f_m(x_0)|+||f_n(x)-f_m(x)-(f_n(x_0)-f_m(x_0))|\\ =|f_n(x_0)-f_m(x_0)|+|f^\prime_n(\xi)-f^\prime_m(\xi)||x-x_0||\\ \le|f_n(x_0)-f_m(x_0)|+|f^\prime_n(\xi)-f^\prime_m(\xi)|(b-a)$其中 $\xi$介于 $x,x_0$之间，由 $\{f^\prime_n(x)\}$在区间 $[a,b]$上一致收敛，由柯西准则，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $N_1$, $n,m\ge N_1$时，对任意的 $x\in[a,b]$，都有 $|f^\prime_n(x)-f^\prime_m(x)|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$又由 $\{f_n\}$在 $[a,b]$上逐点收敛到 $f(x)$，存在 $N_2$， $n,m\ge N_2$时，都有 $|f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2}$即 $n,m\ge\max(N_1,N_2)$时，有 $|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon\quad \forall x \in [a,b]$由柯西准则 $\{f_n\}$在 $[a,b]$上一致收敛到 $f(x)$
第二步，证明求导和极限可交换：
任取 $x_0\in[a,b]$，令 $h_n(x)=\frac{f_n(x)-f_n(x_0)}{x-x_0}(x\neq x_0)$， $h_n(x_0)=f^\prime_n(x_0)$，则 $h_n(x)$在 $[a,b]$上连续。再令 $h(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x\neq x_0)$， $h(x_0)=\sigma(x_0)$，当然， $h_n(x)$在 $[a,b]$上逐点收敛到 $h(x)$，下面证明 $h_n(x)$在 $[a,b]$上一致收敛到 $h(x)$：
由拉格朗日中值定理，存在介于 $x,x_0$之间的 $\xi$，满足 $|h_n(x)-h_m(x)|=\frac{|f_n(x)-f_m(x)-(f_n(x_0)-f_m(x_0))|}{|x-x_0|}\\ =|f_n^\prime(\xi)-f_m^\prime(\xi)|$由柯西准则，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $N$, $n,m\ge N$时,对任意的 $x\in [a,b]$，都有 $|f_n^\prime(x)-f_m^\prime(x)|<\varepsilon$从而 $|h_n(x)-h_m(x)|=\frac{|f_n(x)-f_m(x)-(f_n(x_0)-f_m(x_0))|}{|x-x_0|}\\ =|f_n^\prime(\xi)-f_m^\prime(\xi)|<\varepsilon$由柯西准则， $\{h_n\}$逐点收敛到 $h$，再由 $\{h_n\}$的连续性， $h$在 $[a,b]$上是连续的，从而， $f$在 $x_0$处可导，导数为 $\sigma(x_0)$

推论10.4 $\{f_n(x)\}$是区间 $[a,b]$上的可导函数列，级数 $S(x)=\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}$在 $[a,b]$上逐点收敛并且级数 $\sum_{n=1}^\infty{f^\prime_n(x)}$在区间 $[a,b]$上一致收敛到 $\sigma(x)$，则
(1)级数 $S(x)=\sum_{n=1}^\infty{f_n(x)}$在 $[a,b]$上逐点收敛
(2) $S(x)$在 $[a,b]$上可导，并且 $S^\prime(x)=\sigma(x)$