数学分析笔记2：实空间上的拓扑

点与点集的关系

首先，我们给出邻域的概念。

定义2.1 $x_0 \in R$， $\delta>0$，称集合 $\{x\in R : |x-x_0|<\delta\}$为 $x_0$的 $\delta$-邻域，记为 $B(x_0,\delta)$

有了邻域的概念，就可以定义某一个点和点集之间的关系，这样给定一个点集 $E$，就可以对整个实空间 $R$上的点进行分类。

定义2.2 $x_0\in R$, $E\subset R$，则
(1)如果存在 $\delta_0>0$， $B(x_0,\delta_0)\subset E$，则称 $x_0$是 $E$的内点，全体内点的集合记为 $E^{o}$，称为 $E$的内部
(2)如果 $\forall \delta>0$， $B(x_0,\delta)\cap E \neq \emptyset$，同时， $B(x_0,\delta)\cap E^c \neq \emptyset$，则称 $x_0$是 $E$的边界点，记为 $\partial E$，称为 $E$的边界
(3)如果存在 $\delta_0>0$, $B(x_0\delta_0)\subset E^c$，则称 $x_0$是 $E$的外点

实际上，给定一个点集，平面上的点要么是内点，要么是边界点，要么是外点，并且全体外点就记为 ${E^c}^{o}$，整个实轴就被划分成三个部分。

聚点与闭集

下面，我们可以给出聚点的定义。
定义2.3 $x_0\in R$， $E \subset R$，如果对任意的 $\delta>0$，都有 $B(x_0,\delta)/\{x_0\} \cap E \neq \emptyset$则称 $x_0$是 $E$的聚点，全体聚点的集合称为 $E$的导集，记为 $E^{\prime}$

显然，聚点可能是边界点，也可能是内点，边界点不一定是聚点，不是聚点的边界点称为是孤立点，从几何上看，孤立点就像 $E$的一座座“孤岛”一样。

定义2.4 $x_0\in R$， $E \subset R$， $E^{\prime}\cup E$称为 $E$的闭包，记为 $\overline{E}$

显然，全体边界都在闭包 $\overline{E}$内，如果点集 $E$是包含全体边界的，从几何上看， $E$就是“封闭的”，我们就称 $E$是闭集
定义2.5 $E\subset R$，如果 $E=\overline{E}$，则称 $E$是闭集

定理2.1 $E$是 $R$上的闭集的充分必要条件是 $\partial E \subset E$

证：
充分性：如果 $\partial E \subset E$，对任意的 $x\in \overline{E}$，如果 $x\in E^{\prime}$
由定义: $x \in \partial E$
于是， $x \in E$
如果： $x \in E/E^{\prime}$，那么 $x \in E$
综上， $\overline{E} \subset E$，而由定义， $E \subset \overline{E}$
必要性： $\forall x \in \partial E$，如果 $x \notin E$，按照定义， $x \in E^{\prime}$，从而，
$E \subset \overline{E} = E$，矛盾，因此 $x \in E$

我们还可以从点列极限的角度取考虑聚点的定义。

定理2.2 $E$是 $R$上的点集， $x\in E^{\prime}$的充分必要条件是存在点列 $\{x_n\}\subset E$，并且 $x_n\neq x$，有 $x_n\to x$

证：
充分性：如果存在点列 $\{x_n\}\subset E$，并且 $x_n\neq x$，
有 $x_n\to x$
对任意的 $\delta>0$，存在正整数 $N$， $n\ge N$时，有 $|x_n-x|<\delta$从而 $B(x,\delta)/\{x\}\cap E\neq \emptyset$
因此， $x\in E^{\prime}$
必要性：如果 $x \in E^{\prime}$，那么， $B(x,\frac{1}{n})/\{x\}\cap E \neq \emptyset$取 $x_n \in B(x,\frac{1}{n})/\{x\}\cap E$，这样，就有 $0<|x_n-x|<\frac{1}{n}$由夹逼准则，有 $\lim_{n\to \infty}{x_n}=0$

开集与闭集的性质

现在，开集的定义，所谓开集，就是闭集去掉全部边界，这样，从几何上看，整个几何是“开放的”，因此称为开集。

定义2.6 $E\subset R$，如果 $E=E^{o}$，则称 $E$为开集

例2.1 全体邻域都是开集

证：
$\forall x_0 \in R$， $\forall \delta >0$， $\forall x \in B(x_0,\delta)$，都有
$|x_0-x|<\delta$
令 $\delta_0=\delta-|x_0-x|$，对任意的 $y\in B(x,\delta_0)$，都有
$|y-x_0|\le {|y-x|+|x-x_0|} < {\delta_0}+|x-{x_0}|=\delta$
从而， $y \in B(x_0,\delta)$

定理2.3 $E\subset R$是开集的充分必要条件是 $E^c$是闭集

证：
必要性：如果 $E$是开集，对任意的 $x\in {E^c}^{\prime}$，对任意的 $\delta>0$，都 $B(x,\delta)/\{x\}\cap E^c \neq \emptyset$而 $E=E^o$，那么， $x\in E^c$
因此, $E^c$是闭集
充分性：如果 $E^c$是闭集，对任意的 $x\in E$，如果对任意的 $\delta>0$，都有 $E^c\cap B(x,\delta)=\emptyset$那么，由定义： $x\in {E^c}^{\prime}$，再由 $E^c$是闭集，则 $x\in E^c$，矛盾。
因此，存在 $\delta_0>0$， $E^c\cap B(x,\delta_0)=\emptyset$，即 $B(x,\delta_0)\subset E$

开集有如下性质：
定理2.4
(1) $R$和 $\emptyset$都是开集
(2)有限个开集的交还是开集
(3)任意个开集的并还是开集

相应地，闭集也有如下性质
定理2.5
(1) $R$和 $\emptyset$都是闭集
(2)有限个闭集的并是闭集
(3)任意个闭集的交是闭集

实空间的紧性

聚点定理和魏尔斯特拉斯定理

定理2.6 $R$上的有界无穷点集 $E$必有一个聚点

证：
令 $S=\{a\in R:|[a,+\infty)\cap{E}|<+\infty\}$，由 $E$是有界集，设 $M>0$， $\forall x\in E$，有 $|x|\le M$
那么， $-M$是 $S$的下界，由确界原理， $S$存在下确界，记 $m=\inf(S)$
由定义，对任意的 $\delta>0$， $[a+\delta,+\infty)\cap E$是有限集,分两种情况讨论：
(1)如果 $a\notin S$，那么， $[a,+\infty)$是无穷集，于是，对任意的 $\delta>0$， $(a,a+\delta)\cap E$是无穷集，那么，按照聚点的定义， $a\in E^{\prime}$
(2)如果 $a\in S$，那么，按照确界的定义，对任意的 $\delta>0$， $[a-\delta,+\infty)$是无穷集， $[a,+\infty)$是有限集，从而 $[a-\delta,a)$是无穷集，按照聚点的定义，同样有 $a\in E^{\prime}$

需要注意的是：有界这个条件必不可少，因为自然数集是没有聚点的。由聚点定理可以直接得到以下的魏尔斯特拉斯定理：

定理2.7 任意有界数列必有收敛子列

接下来，我们就可以讨论数列极限和子列极限的关系：

定理2.8 实数列 $\{x_n\}$收敛于A（有限实数或正负无穷）充分必要条件是任意子列 $\{x_{n_k}\}$都收敛到A

证：
仅证明A是有限实数的情形，其他情形的证明是类似的
必要性：如果 $\lim_{n\to\infty}{x_n}=A$，对任意的正数 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n\ge{N}$时，有 $|x_n-x|<\varepsilon$对任意的子列 $\{x_{n_k}\}$，存在正整数 $K$, $k\ge K$时，都有 $n_k\ge N$，从而， $|x_{n_k}-x|<\varepsilon$充分性：如果对任意的子列都收敛到 $A$，但 $\{x_n\}$不收敛到 $A$，那么存在正数 $\varepsilon_0$，对任意的正整数 $N$，存在 $n\ge N$，满足： $|x_n-x|\ge{\varepsilon_0}$这样，就可以取得子列 $\{x_{n_k}\}$，满足： $|x_{n_k}-x|\ge{\varepsilon_0}$但 $\{x_{n_k}\}$不收敛到 $A$，矛盾，因此， $\{x_n\}$收敛到 $A$

定理2.9有界实数列 $\{x_n\}$不收敛的充分必要条件是存在两个极限不同的收敛子列

证：
充分性是显然的，只需要证明必要性
由定理2.7，存在收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，设 $\lim_{k\to \infty}{x_{n_k}} = A$但 $\lim_{n\to \infty}{x_n} \neq A$这样，存在正数 $\varepsilon_0>0$就可以取得子列 $\{x_{m_k}\}$，满足： $|x_{m_k}-A|\ge\varepsilon_0$而 $\{x_{m_k}\}$是有界的，那么 $\{x_{m_k}\}$存在收敛子列，当然其极限不等于A

定理2.10
(1) $\{x_n\}$无上界的充分必要条件存在收敛到 $+\infty$的子列
(2) $\{x_n\}$无下界的充分必要条件存在收敛到 $-\infty$的子列
(3) $\{x_n\}$无上界，但不收敛到 $+\infty$的充分必要条件是存在两个子列，一个收敛到 $+\infty$，一个收敛到有限数或 $-\infty$
(4) $\{x_n\}$无下界，但不收敛到 $-\infty$的充分必要条件是存在两个子列，一个收敛到 $-\infty$，一个收敛到有限数或 $+\infty$

证：
(1)和(2)仅证明(1)，(2)的证明是类似的
由 $\{x_n\}$无上界，那么对任意的 $M>0$，对任意的 $N$，存在 $n\ge N$，有 $x_n\ge M$
按以下步骤取一个子列：
第1步：存在 $n_1>1$, $x_{n_1}>1$
第2步：存在 $n_2>\max(n_1,2)$， $x_{n_2}>2$
第3步：存在 $n_3>\max(n_2,3)$, $x_{n_3}>3$
$\cdots$
以此类推
该子列 $\{x_{n_k}\}$即满足条件
(3)和(4)仅证明(3)，(4)的证明是类似的
首先，有 $\{x_n\}$无上界，由(1)，可以取得一个收敛到 $+\infty$的子列
不妨假设 $\{x_n\}$有下界，否则由(2)结论是显然成立的，那么，由于 $\{x_n\}$不收敛到 $+\infty$，存在正数 $M>0$，对任意的正整数 $N$，存在正整数 $n_0\ge N$，满足 $x_{n_0}\le M$
也就是说，可以取得 $\{x_n\}$的一个有界子列，再由定理2.7可以证得结论

综合上面所有的命题，有如下推论：
推论2.1
实数列 $\{x_n\}$不广义收敛的充分必要条件是存在两个子列 $\{x_{n_k}\}$和 $\{x_{m_k}\}$，满足： $\lim_{k\to\infty}{x_{n_k}}=A$ $\lim_{k\to\infty}{x_{m_k}}=B$并且， $A\neq B$

实际上，数列极限反映了数列整体变动的一个趋势，这个趋势无论如何取子列，都是存在的，如果可以分离出两个趋势不同的子列，那么一定不收敛，以上的定理共同说明了这个问题。这样，我们就可以对所有的实数列进行分类：

数列有界性	数列收敛性	子列收敛性
有界	不收敛	存在两个极限不同的收敛子列
有界	收敛到A	所有子列都收敛到A
无上界	收敛到 $+\infty$	所有子列都收敛到 $+\infty$
无上界	不收敛到 $+\infty$	有一个子列收敛到有限数，一个子列收敛到 $+\infty$
无下界	收敛到 $-\infty$	所有子列都收敛到 $-\infty$
无下界	不收敛到 $-\infty$	有一个子列收敛到有限数，有一个子列收敛到 $-\infty$

有限覆盖定理与闭集套定理

现在，我们来证明两个重要的定理——有限覆盖定理和闭集套定理。我们先来介绍闭集套定理。
定义2.7 $E\subset R$是有界集，定义其直径为 $diam(E)=\sup\{|x_1-x_2|:x_1\in E , x_2\in E\}$

定义2.8 $\{E_n\}$是渐降的有界闭集列，并且， $\lim_{n\to \infty}{diam(E_n)}=0$，则称 $\{E_n\}$是 $R$上的闭集套

定理2.11（闭集套定理） $\{E_n\}$是 $R$上的一个闭集套，存在唯一的 $x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_n}$

证：
取 $x_n \in E_n$
首先， $\{x_n\}$是有界数列。
由定理2.7，存在收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，设 $\lim_{k\to\infty}{x_{n_k}}=x_0$
下面我们证明： $x_0\in\bigcap_{n=1}^{\infty}{E_n}$
(1)首先我们证明： $\lim_{n\to\infty}{x_n}=x_0$
首先， $\forall \varepsilon>0$，存在正整数 $N_1$， $n\ge N_1$时，有 $diam(E_n)<\frac{\varepsilon}{2}$存在正整数 $K_1$, $k\ge K_1$时，有 $n_k\ge N_1$又存在正整数 $K_2$, $k\ge K_2$时，有 $|x_{n_k}-x_0|<\frac{\varepsilon}{2}$令 $N_2 = n_{\max(K_1,K_2)}$，当 $n\ge\max(N_1,N_2)$时，有 $|x_n-x_0| \le |x_n - x_{N_2}| + |x_{N_2}-x_0| < \varepsilon$(2)其次，对任意 $n\ge 1$，对任意的 $k\ge n$，有 $x_k\in E_n$
由 $E_n$是闭集，有 $\lim_{n\to\infty}{x_n}=x_0\in{E_n}$
这样就证得了存在性
(3)唯一性由 $\lim_{n\to \infty}{diam(E_n)}=0$是显然的

定义2.9 $\{E_t:t\in T\}$是一系列开集，其中 $T$是指标集， $E$是一个点集，如果 $E\subset\bigcup_{t\in T}{E_t}$，则称 $\{E_t:t\in T\}$是 $E$的一个开覆盖，如果 $E$的任意开覆盖都有一个有限的子覆盖，那么，称 $E$可以被有限覆盖

定理2.12 任意有界闭集可以被有限覆盖

证：
设 $E$是有界闭集， $\mathcal{S}=\{E_t:t\in T\}$是 $E$的一个无穷开覆盖
反证法，假设 $E$不能被 $\mathcal{S}$有限覆盖，令 $m=\inf(E)$, $M=\sup(E)$，则 $[m,M]\cap E = E$
按以下步骤取一个闭区间套：
第1步：将区间 $[m,M]$二等分为 $I^1_1$和 $I^1_2$，则 $I_1^1\cap E$和 $I_2^1\cap E$至少有其一不能被 $\mathcal{S}$有限覆盖且非空，设其为 $I_1$
第2步:将区间 $I_1$二等分为 $I^2_1$和 $I^2_2$，则 $I_1^2\cap E$和 $I_2^2\cap E$至少有其一不能被 $\mathcal{S}$有限覆盖且非空，设其为 $I_2$
$\cdots$
以此类推，得到一个不能被 $\mathcal{S}$有限覆盖的闭集套 $\{I_n\cap E\}$
由定理\ref{th_close_set}，存在 $x_0\in \bigcap_{n=1}^{\infty}{I_n\cap E}$
存在开集 $E_{t_0}$，有 $x_0\in E_{t_0}$，存在 $\delta_0>0$，有 $B(x_0,\delta_0)\subset E_{t_0}$
又存在正整数 $N$， $n\ge N$时，有 $diam(I_n\cap E)<\delta_0$，而 $x_0\in I_n\cap E$，对任意的 $x\in I_n\cap E$，有 $|x_0-x|<\delta_0$因此， $I_n\cap E \subset B(x_0,\delta_0) \subset E_{t_0}$，矛盾。矛盾产生的原因是 $E$不能被 $\mathcal{S}$有限覆盖

实空间的完备性——柯西收敛原理

最后，我们来证明实空间的一个重要的性质，也就是完备性。首先，收敛的数列应当满足什么条件呢？一个收敛数列，最终会在某个数附近波动，最终波动幅度越来越小。反过来，如果一个数列最终波动幅度越来越小，是否一定收敛呢？
定义2.10 如果对任意的数列 $\{x_n\}$，满足： $\forall \varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n,m\ge N$，都有 $|x_n-x_m|<\varepsilon$则称 $\{x_n\}$是柯西列

定义2.11 我们称一个数系 $S$是完备的，如果全部柯西列都是收敛列

定理2.13（柯西收敛原理） 实数系是完备的，即对任意的实数列 $\{x_n\}$， $\{x_n\}$是收敛列的充分必要条件是 $\{x_n\}$时柯西列

证：
必要性，如果 $\{x_n\}$是收敛列，设 $\lim_{n\to\infty}{x_n}=A$，对任意的 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n\ge N$时，有 $|x_n-A|<\frac{\varepsilon}{2}$则 $|x_n-x_m|\le |x_n-A|+|x_m-A| < \varepsilon$充分性：如果 $\{x_n\}$是柯西列，则存在正整数 $N_1$，当 $n,m\ge N_1$时，有 $|x_n-x_m|<1$则 $n\ge N_1$时，有 $|x_n|\le |x_{N_1}|+|x_n+x_{N_1}| \le |x_{N_1}| + 1$从而： $|x_n| \le \max(|x_1|,\cdots,|x_{N_1-1}|,|x_{N_1}|+1)$这样， $\{x_n\}$是有界数列，有魏尔斯特拉斯定理，存在收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，设 $\lim_{k\to\infty}{x_{n_k}}=A$,对任意的 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N_2$， $n,m\ge N_2$，都有 $|x_n-x_m|<\frac{\varepsilon}{2}$又存在正整数 $K$, $k\ge K$，有 $n_k\ge N_2$，同时， $|x_{n_k}-A|<\frac{\varepsilon}{2}$ $|x_n-A|\le |x_n-x_{n_K}| + |x_{n_K}-A|<\varepsilon$这样就证得了 $\lim_{n\to \infty}{x_n} = A$

实数系是完备的含义是：“该有极限的数列都有极限”，在这个前提下，对极限运算进行讨论才是有意义的，而有理数系不具有这个性质。