数学分析笔记8：广义积分

广义积分的定义与计算

定积分的定义存在某种程度的缺陷，比如：我们经常要计算一个无穷区间的积分，这样，我们就没办法按照分割-取点-求和-取极限四个步骤来定义积分。有时候，函数在我们要计算积分的区间上无界的，按照上一章所证明的结果，如果 $f(x)$在闭区间 $[a,b]$上可积，那么 $f(x)$就必须要在 $[a,b]$上有界，但有时无界条件下我们也需要计算某种积分。
我们先考虑无穷区间上的积分： $f(x)$在 $[a,+\infty)$上有定义，那么我们应当如何计算 $f(x)$在无穷区间上的积分呢？实际上，我们已经有了 $f(x)$在有限区间 $[a,x]$上的积分，借助函数极限的定义，我们就可以将无穷区间上的积分定义为 $\int_a^{+\infty}{f(x)dx}=\lim_{x\to +\infty}\int_a^x{f(x)dx}$下面我们给出一个正式的定义
定义8.1 $f(x)$是定义在 $[a,+\infty)((-\infty,a])$上的函数，如果对任意的 $x>a(x<a)$， $f(x)$在 $[a,x]([x,a])$上可积，如果极限 $\lim_{x\to +\infty}\int_a^x{f(t)dt}(\lim_{x\to -\infty}\int_x^a{f(t)dt})$存在，则称 $f(x)$在 $[a,+\infty)((-\infty,a])$上可积，该极限的值称为 $f(x)$在\ $[a,+\infty)((-\infty,a])$的积分，记为 $\int_a^{+\infty}{f(x)dx}(\int_{-\infty}^a{f(x)dx})$

定义8.2 $f(x)$是 $(-\infty,+\infty)$上的函数，如果 $f(x)$在任意闭区间上可积，并且任取 $a\in R$， $f(x)$在 $[a,+\infty),(-\infty,a]$上可积。定义： $\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)dx} = \int_a^{+\infty}{f(x)dx}+\int_{-\infty}^a{f(x)dx}$

同样地，对区间 $(a,b]$上的无界函数，也可以以这种方式定义积分。
定义8.3 $f(x)$是定义在 $(a,b]$上的无界函数，如果对任意的 $a<x<b$， $f(x)$在 $[x,b]$上可积，如果极限 $\lim_{x\to a^+}{\int_x^b{f(t)dt}}$存在，称 $f(x)$在 $(a,b]$上可积， $a$为 $f(x)$的瑕点 $\int_a^b{f(x)dx} = \lim_{x\to a^+}{\int_x^b{f(t)dt}}$称为 $f(x)$在 $(a,b]$上的瑕积分

定义8.4 $f(x)$是定义在 $[b,a)$上的无界函数，如果对任意的 $b<x<a$， $f(x)$在 $[b,x]$上可积，如果极限 $\lim_{x\to a^-}{\int_a^x{f(t)dt}}$存在，称 $f(x)$在 $(a,b]$上可积， $a$为 $f(x)$的瑕点 $\int_a^b{f(x)dx} = \lim_{x\to a^-}{\int_b^x{f(t)dt}}$称为 $f(x)$在 $[b,a)$上的瑕积分

无论是瑕积分，还是无穷积分，都是以函数极限的方式来定义，就要考虑极限的存在性问题。如果被积函数 $f(x)\ge 0$，那么变限积分 $\int_a^x{f(t)dt}$就是单调的，那么只要 $\int_a^x{f(t)dt}$有界， $[a,+\infty)$的积分就一定存在，如果无界，积分就为无穷。
定义8.5 $f(x)$是定义为 $[a,+\infty)$上的函数，如果 $|f(x)|$在 $[a,+\infty)$上可积，则称 $\int_a^{+\infty}{f(x)dx}$绝对收敛，如果 $f(x)$在 $[a,+\infty)$上不绝对收敛，但 $f(x)$在 $[a,+\infty)$上可积，称 $\int_a^{+\infty}{f(x)dx}$条件收敛
其他类型的广义积分的绝对收敛和条件收敛的定义是类似的，这里不一一列举。
定理8.1 $f(x)$是定义为 $[a,+\infty)$上的函数，如果 $\int_a^{+\infty}{f(x)dx}$绝对收敛, $\int_a^{+\infty}{f(x)dx}$条件收敛
要证明定理8.1，我们要给出无穷积分收敛的柯西准则。
定理8.2 $f(x)$是定义为 $[a,+\infty)$上的函数， $f(x)$在 $[a,x]$上可积（对任意的 $a<x$）， $f(x)$在 $[a,+\infty)$可积的充要条件是：对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$，当 $x_2>x_1>M$时，都有 $|\int_{x_1}^{x_2}{f(x)dx}|<\varepsilon$

定理8.2的证明可以直接套用函数极限的柯西准则给出。对任意的 $a \le x_1 < x_2$，由定积分的绝对值性质，有 $|\int_{x_1}^{x_2}{f(x)dx}|\le \int_{x_1}^{x_2}{|f(x)|dx}$这样直接用定理8.2就可以证得定理8.1，其他广义积分也有类似的定理，这里就不一一列举了。

由微积分基本定理，如果 $f(x)$在 $[a,+\infty)$上的原函数存在，并且对任意的 $x>a$， $f(x)$在 $[a,x]$上可积，那么，有 $\int_a^x{f(t)dt} = F(x)-F(a)$则 $f(x)$在 $[a,+\infty)$上可积的充要条件就是 $\lim_{x\to+\infty}{F(x)}$存在，并且 $\int_a^x{f(t)dt} = F(+\infty)-F(a)$这就是无穷积分的微积分基本定理。对其他类型的广义积分，也有类似的微积分基本定理，这里就不一一列出。同样地，也可以给出
无穷积分的换元积分法和分部积分法，以换元积分法为例，如果 $a>0$， $f(x)$在 $[a,+\infty)$上
连续，令 $t=\frac{1}{x}$，由定积分的换元积分法，就有 $\int_a^b{f(x)dx} =\int_{\frac{1}{b}}^{\frac{1}{a}}{\frac{1}{t^2}f(\frac{1}{t})dt}$令 $b\to +\infty$，就有 $\int_a^{+\infty}{f(x)dx}=\int_0^{\frac{1}{a}}{\frac{1}{t^2}f(\frac{1}{t})dt}$这样，就将无穷积分化为瑕积分或定积分。

广义积分审敛法

比较判别法

由定理8.1，判断广义积分的收敛，首先应当从其绝对值函数入手，如果广义积分绝对收敛，就可以直接判断广义积分本身收敛。那么如何判断非负广义积分的收敛性呢，我们可以选择某些基准，通过函数与这些基准函数的比较，来判断广义积分的收敛性。

例8.1 $\alpha>0,a>0$，判断 $\int_a^{+\infty}{\frac{1}{x^\alpha}dx}$的敛散性

解：
$\alpha \neq 1$时 $\int_a^{+\infty}{\frac{1}{x^\alpha}dx} =\frac{1}{1-\alpha}[\lim_{x\to+\infty}{x^{-\alpha+1}} -\frac{a^{1-\alpha}}{1-\alpha}]$当 $\alpha>1$时， $\int_a^{+\infty}{\frac{1}{x^\alpha}dx}$收敛
当 $0<\alpha<1$时， $\int_a^{+\infty}{\frac{1}{x^\alpha}dx}$发散
当 $\alpha=1$时 $\int_a^{+\infty}{\frac{dx}{x}} =\lim_{x\to+\infty}{\ln{x}}-\ln{a}$而 $\lim_{x\to+\infty}$不存在，因此积分发散。

现在，我们有了一个判断的基准，由单调收敛定理，就有如下定理
定理8.3 $f(x)$在 $[a,+\infty)$上非负，对任意的 $x>a$， $f(x)$在 $[a,x]$上可积，则
$\int_a^{+\infty}{f(x)dx}$收敛的充要条件是存在正数 $M>0$,对任意的 $x>a$， $\int_a^{x}{f(t)dt}\le{M}$

就有如下的比较判断法
定理8.4（比较判别法） $f(x)$和 $g(x)$都是 $[a,+\infty)$上的非负函数，对任意的 $x>a$， $f(x)$和 $g(x)$在 $[a,x]$上可积，如果存在正数 $c_1>0,c_2>0$，有 $c_1f(x)\le c_2g(x) \quad \forall x\ge a$
则：(1) $\int_a^{+\infty}{f(x)dx}$发散，则 $\int_a^{+\infty}{g(x)dx}$发散
(2) $\int_a^{+\infty}{g(x)dx}$收敛，则 $\int_a^{+\infty}{f(x)dx}$收敛

定理8.3还有如下的极限形式：
定理8.5 $f(x)$和 $g(x)$都是 $[a,+\infty)$上的非负函数，对任意的 $x>a$， $f(x)$和 $g(x)$在 $[a,x]$上可积，如果极限 $\lim_{x\to+\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=a$存在，则：
(1) $a=0$，如果 $\int_a^{+\infty}{g(x)dx}$收敛，则 $\int_a^{+\infty}{f(x)dx}$收敛，如果 $\int_a^{+\infty}{f(x)dx}$发散，则 $\int_a^{+\infty}{g(x)dx}$发散
(2) $0<a<+\infty$，则 $\int_a^{+\infty}{g(x)dx}$和 $\int_a^{+\infty}{f(x)dx}$同敛散

这样，我们就可以通过和某个基准的比较，来判断无穷限积分的敛散性，对于瑕积分，也有类似的结论，这里我们就不一一列举了。我们来列举几个习题来说明如何使用比较判别法。
例8.2 讨论无穷积分 $\int_0^{+\infty}{\frac{x^2}{x^n+x^2+1}dx}$的敛散性( $n>0$)

解：
情形1： $0<n<2$时： $\lim_{x\to+\infty}{\frac{x^2}{x^n+x^2+1}}=1$因此，无穷积分发散, $n=2$时同理
情形2: $n>2$时： $\lim_{x\to+\infty}{\frac{x^2 x^{n-2}}{x^n+x^2+1}}=1$因此，无穷积分和 $\int_1^{+\infty}{\frac{1}{x^{n-2}}dx}$同敛散，因此：
$2<n\le 3$时，无穷积分发散
$n>3$时，无穷积分收敛

例8.3 判断 $\int_1^{+\infty}{\frac{\cos{x}\sin{\frac{1}{x}}}{x}dx}$的敛散性

解：
实际上 $|\frac{\cos{x}\sin{\frac{1}{x}}}{x}|\le \frac{\sin{\frac{1}{x}}}{x}$而 $\lim_{x\to+\infty}{\frac{x^2\sin{\frac{1}{x}}}{x}}=1$因此， $\int_1^{+\infty}{\frac{\sin{\frac{1}{x}}}{x}}$和 $\int_1^{+\infty}{\frac{dx}{x^2}}$同敛散，因此，无穷积分绝对收敛，因此收敛。

狄利克雷判别法和阿贝尔判别法

对于条件收敛的广义积分，要判断其敛散性有一定的困难，一般情况下需要借助柯西收敛准则。但是，某些形式的广义积分有一些特殊的判断方法，由积分第二中值定理，如果 $f(x)$在 $[a,+\infty)$上单调， $g(x)$在 $[a,x](\forall x>a)$上可积，对任意的 $a<x_1<x_2$，存在 $\xi \in [x_1,x_2]$，有 $\int_{x_1}^{x_2}{f(x)g(x)dx} =f(x_1)\int_{x_1}^\xi{g(x)dx}+f(x_2)\int_\xi^{x_2}{g(x)dx}$再结合柯西收敛原理，就不难得到狄利克雷判别法和阿贝尔判别法：
定理8.6（狄利克雷判别法） $f(x)$在 $[a,+\infty)$上单调，并且 $\lim_{x\to+\infty}{f(x)}=0$，对任意的 $x>a$， $g(x)$在 $[a,x]$上可积，并且存在 $M>0$，对任意的 $x>a$ $|\int_a^x{g(t)dt}|\le M$则无穷限积分 $\int_a^{+\infty}{f(x)g(x)dx}$收敛

定理8.7（阿贝尔判别法） $f(x)$在 $[a,+\infty)$上单调有界，对任意的 $x>a$， $g(x)$在\ $[a,x]$上可积，并且 $\int_a^{+\infty}{g(x)dx}$收敛，则无穷限积分 $\int_a^{+\infty}{f(x)g(x)dx}$收敛