数学分析笔记15：多元函数微分学的应用

微分与偏导的几何应用

空间曲面的切平面与法向量

首先何谓空间曲面，空间曲面有两种表现形式，一种以显函数形式表示
$y=f(x,y)$一种则以参数方程的形式表示
$\begin{cases} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{cases}$如果以显函数形式表示，空间曲面在某点的切平面就表示为其全微分的超平面
$z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$问题是：如果以参数方程的形式表示，切平面该如何求得呢？我们当然是要化成显函数的形式了，但是显函数不总是那么容易求得，这时，我们想到隐函数存在定理。假设 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\neq 0$，由隐函数存在定理2，在局部 $x_0=x(u_0,v_0),y_0=y(u_0,v_0)$就存在一个连续可微的隐函数组
$\begin{cases} u=u(x,y)\\ v=v(x,y) \end{cases}$代入第三个方程中，就得到显函数
$z=z(u(x,y),v(x,y))$于是
$\begin{cases} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\\ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} \end{cases}$只需要我们求出 $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}$
自然地，我们联想到Cramer法则： $\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\frac{\partial y}{\partial v}}{ \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}- \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u} }\\ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{-\frac{\partial y}{\partial u}}{ \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}- \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u} }\\ \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{-\frac{\partial x}{\partial v}}{ \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}- \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u} }\\ \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{ \frac{\partial x}{\partial u} }{ \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}- \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u} } \end{cases}$这样，我们就求得了所有偏导数，就可以得到切平面的方程，切平面的法向量就是 $(-\frac{\partial z}{\partial x},-\frac{\partial z}{\partial y},1)$如果是参数方程形式 $\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{ \det\left[ \begin{matrix} \frac{\partial z}{\partial u}&\frac{\partial z}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v} \end{matrix} \right] }{ \det\left[ \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v} \end{matrix} \right] }$ $\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{ \det\left[ \begin{matrix} \frac{\partial z}{\partial u}&\frac{\partial z}{\partial v}\\ \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v} \end{matrix} \right] }{ \det\left[ \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v} \end{matrix} \right] }$
因此，参数方程形式下，法向量为：
$(\det\left[ \begin{matrix} \frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\\ \frac{\partial z}{\partial u}&\frac{\partial z}{\partial v} \end{matrix} \right], \det\left[ \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial z}{\partial u}&\frac{\partial z}{\partial v} \end{matrix} \right], \det\left[ \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v} \end{matrix} \right] )$于是，参数方程形式下，只要以上三个行列式之一不为0，切平面就可以表为 $\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}(x-x_0)+\frac{\partial(x,z)}{\partial(u,v)}(y-y_0) +\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}(y-y_0)=0$

空间曲线的切线与法平面

空间曲线则为以下的参数方程形式
$\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{cases}$其中 $t\in[\alpha,\beta]$，切线的方向向量该如何求解呢？ $t\in[\alpha,\beta]$， $t+\Delta t\in[\alpha,\beta]$，假设 $x(t),y(t),z(t)$都可微，那么：方向向量就可以通过逼近的方式得到
$\frac{1}{\Delta t}[(x(t+\Delta t),y(t+\Delta t),z(t+\Delta t))-(x(t),y(t),z(t))] \to (x^\prime(t),y^\prime(t),z^\prime(t))$与之正交的一切向量组成其法平面：
$x^\prime(t)(x-x(t))+y^\prime(t)(y-y(t))+z^\prime(z-z(t))=0$当然，空间曲线可以由两个空间曲面相交得到
$\begin{cases} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{cases}$在这种情况下，如何求得方向向量和法平面呢？我们不妨先讨论如下的情形：
$\begin{cases} z=F(x,y)\\ z=G(x,y) \end{cases}$相交得到的空间曲线应当如何求解法平面，假设 $\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}\neq 0$，那么，由隐函数存在定理，就可以反解出
$\begin{cases} x=x(z)\\ y=y(z) \end{cases}$再补充
$z=z$就成了参数方程形式
$\begin{cases} x=x(z)\\ y=y(z)\\ z=z \end{cases}$同样地，对于更一般的形式，不妨假设 $\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}, \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,z)}, \frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}$不全为0，假设 $\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}\neq 0$，由隐函数存在定理，可以反解出
$\begin{cases} x=x(z)\\ y=y(z) \end{cases}$再补充
$z=z$就成了参数方程形式
$\begin{cases} x=x(z)\\ y=y(z)\\ z=z \end{cases}$下面我们对一般形式进行讨论：
$x^\prime(z) = \frac{ \frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)} }{ \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)} }$ $y^\prime(z) = \frac{ \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,z)} }{ \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)} }$因此，法平面方程就是：
$\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}(x-x_0)+ \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,z)}(y-y_0)+ \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}(z-z_0)=0$

极值与条件极值

多元函数的极值

现在我们来讨论多元函数的极值问题，首先，同一元函数一样，如果多元函数 $f(x_1,\cdots,x_n)$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处取极值点，并且在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$连续可微，那么首先在该点对各变元的偏导数为0，即
$f^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)=0$满足这个条件的点就称为驻点，然而驻点不一定都是极值点。同样地，对极值点的判定，我们可以借助“二阶导数”，也就是海色矩阵进行。

定理15.1 $f(x_1,\cdots,x_n)$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$的某个邻域上二阶连续可微， $f^\prime(x_1^0,\cdots,x_n^0)=0$， $H_f(x_0)$为 $f(x_1,\cdots,x_n)$ $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处的海色矩阵，则
(1) $H_f(x_0)$正定，则 $f$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处取严格极小值
(2) $H_f(x_0)$负定，则 $f$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处取严格极大值
(3) $H_f(x_0)$不定，则 $f$在 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$处不取极值

证：
(1)(2)我们仅证明(1)，(2)的证明是类似的
由Taylor公式 $f(x)=f(x_0)+\frac{1}{2}(x-x_0)^TH_f(x_0)(x-x_0) +o((x-x_0)^T(x-x_0))$由于 $H_f(x_0)$正定，存在正定矩阵 $Q$，使得 $QH_f(x_0)Q^T=D=diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$其中， $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$都是正数，是 $H_f(x_0)$的特征值。对 $x-x_0$作变换 $\Delta y=Q(x-x_0)$，就有
$f(x)-f(x_0)=\frac{1}{2}\Delta y^T D \Delta y + o(\Delta y^T\Delta y)$于是 $\frac{f(x)-f(x_0)}{\Delta x^T\Delta x} =\frac{1}{2}\frac{\Delta y^T D \Delta y}{ \Delta y^T\Delta y }+ \frac{ o(\Delta y^T\Delta y) }{ \Delta y^T\Delta y }$
$\tag{1} \frac{ \Delta y^T D \Delta y }{\Delta y^T\Delta y} =\frac{ \sum_{k=1}^n{\lambda_k\Delta y_k^2} }{ \sum_{k=1}^n{\Delta y_k^2} }\ge\min(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)>0$存在 $\delta >0$，当 $\Delta x^T\Delta x<\sqrt{\delta}$时
$|\frac{ o(\Delta y^T\Delta y) }{ \Delta y^T\Delta y }|<\frac{\min(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)}{2}$这样
$\frac{f(x)-f(x_0)}{\Delta x^T\Delta x} >0$从而 $f(x)>f(x_0)$这样 $f(x)$在 $x_0$处取得严格极小值
反过来，按照公式(1)，如果 $H_f(x_0)$不定，那么存在一正一负两个特征值，用相同的方法就可以证明 $f(x)$在 $x_0$处不取极值，就证得了(3)

条件极值与拉格朗日乘数法

很多情况下，我们都是给定一定的条件求极值，即如下形式的优化问题：目标函数为 $y=f(x_1,\cdots,x_n)$条件为
$\begin{cases} g_1(x_1,\cdots,x_n)=0\\ g_2(x_1,\cdots,x_n)=0\\ \cdots\\ g_m(x_1,\cdots,x_n)=0 \end{cases}$其中 $m<n$，在该条件下求极值或最值，我们假定 $\frac{\partial(g_1,\cdots,g_m)}{\partial(x_1,\cdots,x_m)}\neq 0$，由隐函数存在定理，就存在隐函数组
$\begin{cases} x_1 = h_1(x_{m+1},\cdots,x_n)\\ \cdots\\ x_m=h_m(x_{m+1},\cdots,x_n) \end{cases}$代入到目标函数中，就化成无条件极值问题
$y=F(x_{m+1},\cdots,x_n)=f(h(x_{m+1},\cdots,x_n),x_{m+1},\cdots,x_n)$由取极值的必要条件，就要求
$\frac{\partial F}{\partial x_k}=0\quad k=m+1,\cdots,n$对 $k=m+1,\cdots,n$，就有
$\tag{2} \sum_{i=1}^m{\frac{\partial h_i}{\partial x_k}\frac{\partial f}{\partial x_i}} +\frac{\partial f}{\partial x_k}=0$由隐函数存在定理，令
$J=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial g_1}{\partial x_m}\\ \cdots&\cdots&\cdots\\ \frac{\partial g_m}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial g_m}{\partial x_m} \end{matrix} \right]$由(2)，就有 $\tag{2} -\left[ \begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_m} \end{matrix} \right]J^{-1} \left[ \begin{matrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_k}\\ \cdots\\ \frac{\partial g_m}{\partial x_k} \end{matrix} \right] +\frac{\partial f}{\partial x_k} = 0$令
$\lambda = \left[ \begin{matrix} \lambda_1&\cdots&\lambda_m \end{matrix} \right] =-\left[ \begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x_m} \end{matrix} \right]J^{-1}$代入到(3)中，就有 $\frac{\partial f}{\partial x_k} +\sum_{i=1}^m{\lambda_i\frac{\partial g_i}{\partial x_k}}=0$当然， $k=1,\cdots,m$时
$J^{-1} \left[ \begin{matrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_k}\\ \cdots\\ \frac{\partial g_m}{\partial x_k} \end{matrix} \right]$是线性方程组
$Jx = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_k}\\ \cdots\\ \frac{\partial g_m}{\partial x_k} \end{matrix} \right]$的解，观察 $J$的构造，就有
$J^{-1} \left[ \begin{matrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_k}\\ \cdots\\ \frac{\partial g_m}{\partial x_k} \end{matrix} \right] =e_k$即除了第 $k$个变元为1外，其余变元都为0，因此(3)也成立，而(3就相当于以下函数分别对 $x_1,\cdots,x_n$求偏导并等于0 $L(x_1,\cdots,x_n,\lambda_1,\cdots,\lambda_m)=f(x_1,\cdots,x_n)+\sum_{i=1}^m{\lambda_i g_i(x_1,\cdots,x_n)}$在结合条件，取条件极值的必要条件是以上函数对各变元（包括 $\lambda$）的偏导数都为0，因而称为拉格朗日乘数法。但是，以上只是取条件极值的必要条件，还不能确认该点是条件极值点。确认条件极值点，一般来讲有两种方法，第一，利用条件海色矩阵，第二，利用最值的存在性。