【Max Sum Plus Plus】区间dp

题目

HDU 1024 传送门

题意
东东每个学期都会去寝室接受扫楼的任务，并清点每个寝室的人数。
每个寝室里面有ai个人(1<=i<=n)。从第i到第j个宿舍一共有sum(i,j)=a[i]+…+a[j]个人
这让宿管阿姨非常开心，并且让东东扫楼m次，每一次数第i到第j个宿舍sum(i,j)
问题是要找到sum(i1, j1) + … + sum(im,jm)的最大值。且ix <= iy <=jx和ix <= jy <=jx的情况是不被允许的。也就是说m段都不能相交。
注：1 ≤ i ≤ n ≤ 1e6 , -32768 ≤ ai ≤ 32767 人数可以为负数。。。。(1<=n<=1000000)
Input
输入m，输入n。后面跟着输入n个ai
Output
输出最大和
Sample Input
1 3 1 2 3
2 6 -1 4 -2 3 -2 3
Sample Output
6
8

题目大意

本题给出了一段数组a，其中包含n个元素。要求我们从其中选择m段连续数字，计算每段内的和再求总和，使得到的总和最大。

解题思路

本题需要用数位dp的方法求解，一开始没有想到转移方法，后来发现可以用dp[i][j]表示前j个数分i段得到的和的最大值，这样转移方法就是：

• dp[i][j]=max(dp[i][j-1]+a[j],max(dp[i-1][k])+a[j]) (0<k<j)

这种方法虽然可行，但由于数据量庞大很有可能会超时且数组存不下。这时就要考虑优化成一维的数组。我们可以用dp[j]表示选取前j个数的最大值，从1到m遍历段数，同时每次遍历段数时需要记录下当前段数情况下的最大值，用于增加一段的情况。结合代码我们可以发现这么做的原因是有新加入的元素a[j]时，我们可能将他与前面已有的段分开，也可能和已有的段并在一起，所以就需要用到段数减一是的最大值来更新，保证用一维数组实现二维数组的效果。
本题的实现原理还可以参考以下博客，讲解十分细致，思路新颖明确：
https://blog.csdn.net/codeswarrior/article/details/80310401

具体代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<queue>
#define ll long long
#define MAXN 1000005 
using namespace std;

int dp[MAXN],maxi[MAXN];
int m,n;
int a[MAXN];
int tmp;

int main()
{
    while(scanf("%d %d",&m,&n) != EOF)
    {
    	for(int i = 1; i <= n; i++)
    	{
    		scanf("%d",&a[i]);
		}
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		memset(maxi,0,sizeof(maxi));
		for(int i = 1; i <= m; i++)
		{
			tmp = -1e9;
			for(int j = i; j <= n; j++)
			{
				dp[j] = max(dp[j-1]+a[j],maxi[j-1]+a[j]);
				maxi[j-1] = tmp;
				tmp = max(dp[j],tmp);
			}
		}
		printf("%d\n",tmp);
	}
    return 0;
}